Solución problema Nº 13, Prácticas 2000-2001

Jose Mª Goicolea, octubre 2000

Un oscilador armónico está formado por una partícula con masa, un muelle y un amortiguador, y queremos caracterizar sus par¡metros mediante una serie de ensayos. Se ha observado en éstos que:

• El tiempo de relajación es s (se entiende por tiempo de relajación aquel al cabo del cual la amplitud de oscilaci³n se reduce en un factor 1/e);
• La frecuencia de resonancia cuando se aplica en la base del muelle un movimiento impuesto armónico es rad/s.
• La frecuencia de resonancia es muy similar a la de oscilación propia

Se pide calcular la frecuencia propia de oscilación y la tasa de amortiguamiento crítico del oscilador.

> restart:

Ecuación que establece la propiedad del tiempo de relajaci³n:

>

Despejando el valor de , tasa de amortiguamiento crítico:

> solu1:=solve(ecu1,xi);

> ec1:=xi=solu1;

La amplitud de la oscilación en régimen permanente (obs©rvese que, al tratarse de una excitaci³n por movimiento de la base, el numerador depende tambi©n de la frecuencia de la excitaci³n , al contrario del caso en que la excitación sea directamente una fuerza arm³nica):

>

Resolución del máximo para calcular la frecuencia de resonancia:

> ecu2:=0=diff(B(Omega),Omega);

> solu2:=solve(ecu2,Omega);

De las anteriores la solución válida es la tercera (positiva y distinta de 0):

> ec2:=Omega[r]=solu2[3];

Sustituimos en ella el valor de antes hallado y resulta una ºnica ecuacion para :

> ec12:=subs(ec1,ec2);

Resolviendo se obtienen las soluciones para buscadas:

> solu12:=solve(ec12,omega[0]);

Para ver cuál de estas 4 soluciones es la v¡lida, sustituimos los datos numéricos del enunciado

> datos:={Omega[r]=16.7*(2*Pi),tau=1/2}:
evalf(datos);

> solu12f:=evalf(subs(datos,[solu12]));

La solución "buena" es la 1, que es positiva y pr³xima a la frecuencia natural. Con ello se calcula la respuesta pedida:

> soluf:=omega[0]=solu12f[1];

> subs(soluf,datos,ec1);

Solución "a mano".

Desarrollando la solucion de las ecuaciones a mano, resultan dos soluciones para la ecuación bicuadrática, representando los cuadrados de :

> x1:=(Omega[r]^2+Omega[r]*sqrt(Omega[r]^2-8/tau^2))/2;

> x2:=(Omega[r]^2-Omega[r]*sqrt(Omega[r]^2-8/tau^2))/2;

Las soluciones respectivas son:

> sol[1]:=evalf(sqrt(subs(datos,x1)));

> sol[2]:=evalf(sqrt(subs(datos,x2)));

La solución buena es la primera,

> subs(omega[0]=sol[1],datos,xi=1/(tau*omega[0]));