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Ejercicio 2, examen parcial 08/04/2000

José Mª Goicolea, Abril 2000

Un hexaedro regular, de masa y lado , cuyos vértices son OPQRSTUV está colgado de su vÂ©rtice O a un punto fijo A mediante un hilo inextensible y sin masa. El cubo estÂ¡ en reposo y una masa puntual impacta en el punto B del mismo, que es el centro de la cara OSVR, con velocidad horizontal y paralela al plano OSUQ, de módulo . Tras el impacto la partícula queda completamente adherida al punto B.

Se pide:

1. Deducir el tensor central de inercia del cubo, referido (por ejemplo) a ejes paralelos a las aristas
2. Campo de velocidades del cubo en el instante inmediatamente posterior al impacto.
3. Percusión que se produce en el hilo como consecuencia del choque.

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Masa del cubo

> masa:={m=rho*a^3};

$masa := {m = rho*a^3}$

Sean las direcciones ( ) paralelas a las aristas. Momento de inercia de una rebanada perpendicular a , respecto del eje , normal a la misma:

> dI:=2*rho*int(int(v^2,v=-a/2..a/2),u=-a/2..a/2);

Momento de inercia del cubo, integrando:

> Iww:=int(dI,w=-a/2..a/2);

En función de la masa total del cubo

> inercia:={lambda=subs(solve(masa,rho),Iww)};

$inercia := {lambda = 1/6*m*a^2}$

El eje es horizontal, segºn la dirección de la velocidad inicial de la partícula , el vertical ascendente, y el formando un triedro a derechas. La expresión del vector velocidad de la partícula inicial es

> V0:=vector([v0,0,0]):

Las incógnitas del problema son los vectores velocidad de G y velocidad angular del cubo después del choque. Sabemos que la velocidad de G debe ser horizontal necesariamente, ya que el hilo impone esta misma condiciÂ³n a O, y el vector OG es vertical. Por tanto, establecemos la componente correspondiente igual a cero, eliminando una incÂ³gnita a priori:

> v[G]:=vector(3):v[G][3]:=0:evalm(v[G]);

> Omega:=vector(3):evalm(Omega);

Tensor de inercia esférico del cubo (en G):

> J[G]:=diag(lambda,lambda,lambda);

Vector GB

> r[GB]:=(a/2)*vector([-1/sqrt(6),-1/sqrt(2),1/sqrt(3)]);

velocidad del punto B después de la impulsión (campo de velocidades del sÂ³lido):

> v[B]:=v[G]+crossprod(Omega,r[GB]);

Impulsión reactiva del hilo, necesariamente vertical (y positiva o nula; si el resultado final fuese negativo, el hilo se arrugaría, y habrÂa que rehacer el cálculo poniendo ).