next up previous
Next: Tensión en un punto Up: Tensiones Previous: Tensión en un punto

Ecuaciones de equilibrio.

Hasta ahora, hemos considerado sólo relaciones entre tensiones en condiciones de tensión uniforme o tensiones en un punto determinado. En general, las tensiones en un cuerpo varían en cada punto y esa variación debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la Estática. Las expresiones resultantes relacionan las derivadas espaciales de los distintos componentes de las tensiones y se denominan Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio.

Figura: Variación de Tensión en un Elemento
\includegraphics{fig9.1}

Si la tensión normal en un punto es, por ejemplo, $ \sigma_x$, a una distancia positiva $ dx$ en el sentido del eje X, valdrá $ (\partial \sigma_x/\partial x)\,dx$ en la que la derivada parcial representa el cambio infinitesimal o tendencia al cambio de la tensión respecto a la dirección --ver figura 1.9. La tensión considerada, normalmente, será también función de los valores de $ y$ y de $ z$1.13. En cualquier caso, suponemos que las componentes de las tensiones y sus derivadas primeras son funciones continuas.

La tensión en B viene dada por tanto por:

$\displaystyle \sigma_{x_B} = \sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\,dx$ (1.16)

y, análogamente, la tensión en C y en D será:

\begin{displaymath}
\begin{split}
&\sigma_{x_C} = \sigma_x + \frac{\partial \sig...
... + \frac{\partial \sigma_{x_B}}{\partial y}\,dy\\
\end{split}\end{displaymath}

ya que ``x'' es constante entre B y D. Si utilizamos la ec. 1.17 y la aplicamos a la última de las igualdades, obtenemos:

$\displaystyle \sigma_{x_D}=\sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial
x}\,dx+\...
...partial y} \left(
\sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\,dx\right)\:dy
$

o simplificando:

$\displaystyle \sigma_{x_D}= \sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\,dx+\frac{\partial \sigma_x}{\partial y}\,dy$ (1.17)

en donde hemos quitado el término de segundo orden --producto de $ dx$ por $ dy$-- por ser despreciable en un orden de magnitud. Teniendo en cuenta este punto, vemos que la tensión en una superficie del elemento infinitesimal varía linealmente.

La fuerza en la sección media de la cara izquierda del elemento, será por tanto la semisuma de las tensiones en A y en C multiplicadas por la superficie de la cara considerada1.14, quedando:

$\displaystyle P_1=\left( \frac{\sigma_x+\sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial
y}\,dy}{2} \right)\:dy
$

y simplificando, obtenemos:

$\displaystyle P_1=\sigma_x\,dy+\frac{1}{2}\,\frac{\partial \sigma_x}{\partial
y}\,dy^2
$

De la misma manera calculamos los esfuerzos en la cara de la derecha, obteniendo:

$\displaystyle P_2=\left(\frac{\sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial
x}\,d...
..._x}{\partial
x}\,dx+\frac{\partial \sigma_x}{\partial y}\,dy}{2} \right) \:dy
$

o lo que es lo mismo:

$\displaystyle p_2=\sigma_x\,dy+\frac{\partial \sigma_x}{\partial
x}\,dx\,dy+\frac{1}{2}\frac{\partial \sigma_x}{\partial y}\,dy^2
$

Por tanto la fuerza resultante sobre el elemento será:

$\displaystyle P_2-P_1=\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\,dx\,dy
$

Si hubiéramos supuesto que la distribución de tensiones es uniforme en la cara considerada e igual a la tensión media obtenida, habríamos obtenido el mismo resultado, y también sería igual el momento creado por ambos sistemas. Por tanto, en lo que sigue, vamos a asumir esa suposición que sin quitar generalidad al estudio, lo hace más sencillo. Representaremos la tensión uniforme en cada cara por un vector aplicado en el centro de la cara.

Figura: Valores medios de la tensión
\includegraphics{fig10.1}

Lo anterior está reflejado en la figura 1.10 1.15, que nos servirá de base para el estudio que sigue. Supondremos que los valores de las tensiones no nulas y las fuerzas exteriores son independientes de Z. A un estado de tensiones como el que acabamos de definir se le denomina un estado de tensión plana. Si establecemos el equilibrio de fuerzas en el sentido del eje X, considerando un valor unitario de Z, tendremos:

$\displaystyle F_x\,dx\,dy+\left[ \sigma_x+\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}\...
...[\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\,dy\right]\,dx-\tau_{yx}\,dx=0$ (1.18)

que una vez simplificada se convierte en:

$\displaystyle \left[\frac{\partial \sigma_x}{\partial
x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+F_x \right]\,dx\,dy = 0
$

Como el producto ``$ dx\,dy$'' no es cero, debe serlo la expresión entre corchetes, por lo que, finalmente, obtenemos:

$\displaystyle \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial
y}+F_x = 0
$

Si hacemos el mismo razonamiento para la dirección del eje Y:

$\displaystyle \frac{\partial \sigma_y}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial
x}+F_y = 0
$

Estas ecuaciones de equilibrio se pueden generalizar considerando el equivalente en tres dimensiones al esquema de la figura 1.10, con el siguiente resultado:

\begin{displaymath}\begin{split}&\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}+\frac{\par...
...al x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+F_z = 0 \end{split}\end{displaymath} (1.19)

En consecuencia, para un cuerpo en equilibrio las tensiones varían de punto a punto según las ecuaciones anteriores1.16.

Podemos aplicar una tercera condición de equilibrio a las tensiones de la figura 1.10. Nos referimos a aquélla que se expresa como $ \Sigma\,M=0$. Si tomamos momentos respecto a la esquina inferior izquierda de dicha figura, tendremos:

\begin{multline*}
\left( \frac{\partial \sigma_y}{\partial
y}\,dy\,dx\right)\,...
...right)\,dx\,dy+F_y\,dx\,dy\frac{dx}{2}-F_x\,dy\,dx\frac{dy}{2}=0
\end{multline*}

Despreciando los términos que contengan triples productos de $ dx$ y $ dx$, la ecuación anterior se convierte en: $ \tau_{xy}=\tau_{yx}$.

Considerando el caso tridimensional y tomando momentos respecto a cada uno de los ejes veríamos que:

$\displaystyle \tau_{xy}=\tau_{yx}\qquad \tau_{xz}=\tau_{zx} \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}$ (1.20)

por lo que podemos decir que sólo seis de las nueve componentes de la tensión en un punto, son independientes.


next up previous
Next: Tensión en un punto Up: Tensiones Previous: Tensión en un punto
Santiago Muelas 2000-09-08