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Tensión en un punto

En las secciones 1.3 y 1.4 hemos establecido las ecuaciones de las transformaciones entre las tensiones actuando sobre un cuerpo en un estado de tensión uniforme. Ahora veremos que esas mismas relaciones representadas por el conjunto de ecuaciones de la (1.1) a la (1.15) también se aplican en cada punto de un cuerpo bajo una distribución de tensiones NO uniforme, incluyendo las debidas a fuerzas de masa.

Figura 1.8: Estado No uniforme de tensiones
\includegraphics{fig8.1}

Considérese el estado tensional en el punto ``O'' de la figura 1.8. En dicho punto las tensiones son $ \sigma_x$, $ \sigma_y$ y $ \tau_{xy}$. En un plano paralelo al ``AB'' que pase por el mismo punto, las denominamos $ p_x$ y $ p_y$ y finalmente, las fuerzas de masa en O son $ F_x$ y $ F_y$. Las dimensiones del elemento representado, $ \Delta x,\; \Delta y$ y $ \Delta s$ se suponen pequeñas. La tensión normal al plano OB en el punto B y debido a la distribución NO uniforme de las tensiones, es $ \sigma_x+(\partial \sigma_x/\partial
y)(\Delta y)$1.12. Por tanto, la tensión media en OB es $ \sigma_x+1/2\,(\partial \sigma_x/\partial y)(\Delta
y)$. Análogamente obtendríamos el resto de los valores representados en la figura 1.8.

Ahora, si establecemos el equilibrio de fuerzas en la dirección X de acuerdo con la figura, tendremos:

\begin{multline*}
(p_x+\Delta p_x)\Delta s = \left( \sigma_x + \frac{\partial
...
...}{2}\right)\Delta x - (F_x+\Delta F_x)\frac{\Delta x\Delta y}{2}
\end{multline*}

que, dividiendo por $ \Delta s$ se convierte en:

\begin{multline}
(p_x+\Delta p_x) = \left( \sigma_x + \frac{\partial
\sigma_x}...
...ht)sen\, \alpha - (F_x+\Delta F_x)\frac{\Delta x\,cos\,\alpha}{2}
\end{multline}

pero cuando $ \Delta x$ y $ \Delta y$ tienden a cero, $ \Delta p_x$ y $ \Delta F_x$ tienden a anularse, quedando la fórmula ya conocida:

$\displaystyle p_x = \sigma_x\,cos\,\alpha + \tau_{xy}\,sen\,\alpha
$

De la misma forma, estableciendo el equilibrio según el eje Y llegaríamos a:

$\displaystyle p_y=\sigma_y\,sen\,\alpha+\tau_{xy}\,cos\,\alpha
$

Vemos que las expresiones para $ p_x$ y $ p_y$ son idénticas a las reflejadas en las ecs. (1.2) y (1.3).

En la próxima sección veremos que la relación $ \tau_{xy}=\tau_{yx}$ es igualmente válida para una distribución de tensiones NO uniforme. De ésto se deduce que las ecs. (1.1) a (1.15) obtenidas, se aplican igualmente al analizar el estado de tensiones de un punto. Sin embargo, debemos decir que esta formulación no es válida para el análisis del estado tensional de un cuerpo en un caso de distribución NO uniforme. Lo que sí es correcto es que, una vez conocido el estado tensional de un cuerpo, las ecuaciones de transformación de las tensiones se utilicen para definir las componentes de las tensiones en cualquier plano, en un punto dado.


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Santiago Muelas 2000-09-08