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Principio de superposición

En el capítulo segundo, hablamos de este principio aplicado alas deformaciones y demostramos para un caso particular, que el campo de desplazamientos debido a dos distribuciones de deformaciones diferentes, pueden sumarse --superponerse-- para dar el resultante de la acción de ambas actuando al mismo tiempo. También se hizo notar que ésto era cierto siempre que las deformaciones o desplazamientos fueran pequeños de forma que la relación existente entre unas y otros fuera lineal4.8. En este Apartado vamos a analizar este principio para las ecuaciones básicas en elasticidad lineal.

Bajo el supuesto de deformaciones infinitesimales y relaciones tensión-deformación también lineales, todas las ecuaciones básicas en elasticidad, tal y como se muestran en la Tabla 4.2, y las ecuaciones que establecen las condiciones de contorno, Ec. (4.4) y (4.5), son ecuaciones lineales. Además, nuestras ecuaciones son o bien homogéneas en las variable dependientes4.9, o bien no homogéneas pero con los términos correspondientes a las fuerzas externas como únicos términos no homogéneos, como en las Ec. (4.1), (4.25) y (4.4).

Debido a la naturaleza de nuestras ecuaciones, las variables dependientes varían linealmente en función de las cargas externas y pueden, por tanto, superponerse. El principio de superposición se puede enunciar como sigue:
«Las variables dependientes4.10 obtenidas para cada conjunto de fuerzas4.11externas actuando por separado, pueden superponerse para obtener el efecto de todas las fuerzas externas actuando en conjunto.»

Para demostrar lo anterior consideremos la formulación en tensiones donde las ecuaciones básicas son las ecuaciones de equilibrio (4.1) y las de compatibilidad en tensiones (4.25). Sean $ \sigma_x \ldots \tau_{xz}$ las componentes de las tensiones que satisfacen las ecuaciones básicas y las condiciones de contorno impuestas, para un cierto sólido elástico sometido a las fuerzas de masa $ F_x\ldots$ y a las de superficie $ T_x^\mu \ldots$ . Por otro lado, llamemos $ \sigma'_x \ldots \tau'_{zx}$ a las componentes de las tensiones generadas en el mismo sólido por las fuerzas $ {F'}_x \ldots
,\; {T'}_x^\mu \ldots$ . Por lo tanto las componentes con o sin «prima» cumplirán los siguientes sistemas de ecuaciones:

y sumando cada grupo de ecuaciones dos a dos, obtenemos:

\begin{displaymath}
\begin{split}
&\frac {\partial (\sigma_x+\sigma'_x)}{\partia...
...u'_{{xz}_0})\mu_z=(T_x^\mu+{T'}_x^\mu)\quad (x,y,z)
\end{split}\end{displaymath}

Los resultados muestran que las componentes de las tensiones $ (\sigma_x+\sigma'_x)\ldots (\tau_{xz}+\tau'_{xz})$ son las soluciones para el sólido elástico dado sometido a las fuerzas de masa $ (F_x+F'_x)\ldots$ y a las fuerzas de superficie $ (T_x^\mu+{T'}_x^\mu)\ldots$ En otras palabras, dos o más campos de tensiones pueden ser superpuestos y el resultado obtenido es el mismo que el que se obtendría partiendo del campo suma de los primeros.


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Santiago Muelas 2000-09-08