Fuerzas de masa, Fuerzas de superficie y Tensiones

Las fuerzas de masa están asociadas con el propio cuerpo en estudio y se distribuyen en toda la amplitud del mismo. No son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos. Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas...etc.

Las componentes de la intensidad de estas fuerzas según los ejes coordenados, las denominaremos $F_x, \, F_y\; y\; F_z$.

Las fuerzas de superficie son una consecuencia del contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para establecer ecuaciones de equilibrio y otras.

Sea un cuerpo como el que se representa en la figura 1.1

Figura 1.1: Fuerzas de Supercifie e Internas

Si el sistema está en equilibrio, las Fuerzas de Superficie $P_1$ y $P_2$ se mantienen en equilibrio con las fuerzas que la parte II del cuerpo ejerce sobre la parte I. Esta última fuerza, sin embargo, se reparte sobre toda la superficie de corte, de forma que cualquier área elemental $\Delta A$ está sometida a la fuerza $\Delta F$. Por tanto, la fuerza «media» por unidad de área es

$$p_{media} = \frac{\Delta F}{\Delta A}$$

La tensión en un punto se define como el valor límite de la fuerza por unidad de área, cuando ésta tiende a cero. Es decir:

$$p=\lim_{\Delta A \rightarrow 0} \; \frac{\Delta F}{\Delta A} = \frac{d\,F}{d\,A}$$

Debemos hacer notar que la fuerza $d\,F$, o lo que es lo mismo, la tensión $p$, NO está dirigida según una dirección preestablecida, como puede ser la normal al plano de la superficie^1.1.

Si consideramos el equilibrio de un cuerpo libre, en el que, en general, actúan tensiones en todas las superficies externas, tenemos que determinar la fuerza resultante de las tensiones actuando en cada superficie --así como las eventuales fuerzas de masa-- a fin de expresar las condiciones de equilibrio^1.2.

Por otra parte, la tensión en un elemento diferencial de área, $dA$ es un vector en la misma dirección que el vector de fuerza $dF$. Podemos decir que la tensión en un plano determinado es un vector, el «vector tensión». En el caso de que actúen diferentes tensiones en un mismo plano, la tensión resultante estará determinada por la suma de los vectores representativos de todas las tensiones. Análogamente, el vector tensión se puede descomponer en otros vectores, que, en el caso de elegir las direcciones de los ejes coordenados, serían las componentes del vector tensión.

Este concepto vectorial de la tensión tiene que estar referido a un plano determinado, ya que en caso de que se modifique el plano considerado, aunque englobe al punto en que hemos basado la reflexión anterior, la tensión, a su vez, será diferente. Si queremos conocer la tensión en cualquier plano que pase por el punto considerado, ya no podemos hablar de la tensión como una entidad vectorial. En realidad, como veremos más adelante, la tensión se define por un tensor de segundo orden.

Sin embargo, es perfectamente lícito hablar del estado tensional de un punto, siempre que sobreentendamos que nuestra descripción permita el conocimiento de la tensión en todo plano que pase por el punto. En seguida veremos que para poder tener ese conocimiento, es suficiente conocer la tensión sobre dos planos que pasen por el punto^1.3.

Resumiendo lo anterior, para definir totalmente el vector tensión, tenemos que especificar su magnitud, dirección y el plano sobre el que actúa. La perfecta definición se puede conseguir utilizando dos índices para sus componentes, por ejemplo, $\tau_{xy}$ o $\tau_{r \theta}$ así como el signo que nos sirva para determinar el sentido en que actúa un componente determinado.

En el caso general, existen dos formas de designar las componentes del vector tensión en forma adecuada: por un lado las componentes $x$, $y$ y $z$ y por otro las componentes normal y tangencial. Las componentes $x$, $y$ y $z$ de una tensión externa^1.4 que actúan en el contorno del cuerpo las designaremos $T_x^\mu$, $T_y^\mu$ y $T_z^\mu$.^1.5 El subíndice indica la dirección de la componente y el superíndice $\mu$ define el plano^1.6. Para designar tensiones internas en planos posibles, utilizaremos la notación $p_x$, $p_y$ y $p_z$ para las componentes del vector tensión^1.7.

Figura: Vector de tensiones externo y sus componentes

Las componentes normales y tangenciales se utilizan con más frecuencia y resultan más significativas. Definimos por $\sigma$ la componente perpendicular al plano sobre el que actúa. La tensión tangencial se representa por $\tau$. Esta última se encuentra en la superficie del plano sobre el que actúa. En relación con la figura 1.3 en la que $p=dF/dA$, tenemos:

$$p^2 = \sigma^2 + \tau^2$$

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Figura 1.3: Componentes normal y tangencial

Vamos a generalizar todo lo anterior para el caso de considerar el espacio tridimensional. Nos referirnos en lo que sigue a la figura 1.4 en la que se han omitido las tensiones internas, ya que, de momento, se trata de establecer la nomenclatura a utilizar en lo que se refiere a tensiones, y que dicha nomenclatura quede clara y suficientemente justificada.

Comenzaremos diciendo que consideraremos un cuerpo libre, por ejemplo el paralelepípedo de la figura. Las tensiones normales que definen a los planos, se considera que tienen la dirección de dentro hacia afuera. Así, la cara lateral derecha del elemento corresponderá con el plano ``X'' positivo, puesto que dicha normal tiene el sentido del eje positivo de las X. El lateral izquierdo, sin embargo, será el plano ``-X'' puesto que su vector representativo, su normal, va en el sentido negativo del eje X.

Las componentes tangenciales que actúan en un plano, pueden tener una dirección cualquiera. Sin embargo, para establecer su sentido, las descompondremos en las dos direcciones de los otros dos ejes coordenados. La notación que se emplea para definir a estas tensiones consta de dos subíndices, como vemos en la figura. El primer subíndice indica el plano en el que actúa la tensión, y el segundo la dirección en la que actúa. Así, la expresión $\tau_{xy}$ nos indica la tensión tangencial que actúa sobre el plano X en la dirección del eje Y. Para las componentes normales, sólo se precisa de un subíndice, ya que el mismo especifica por un lado el plano sobre el que actúa y al mismo tiempo la dirección del eje que sigue. Por ello, una denominación como $\sigma_x$ es suficiente para saber que se trata de la tensión normal al plano X y que su dirección es, por consiguiente, la del eje X.

Figura 1.4: Componentes tridimensionales

Finalmente, en los planos negativos, la convención seguida es que las tensiones que actúan en dichos planos en la dirección NEGATIVA de los ejes, son POSITIVAS^1.8. Si obseramos la figura 1.4 veremos que todas las tensiones señaladas son positivas.