Ecuaciones básicas en tres dimensiones

Las ecuaciones básicas en tres dimensiones son las Ec. (4.1), (4.2) y (4.3), es decir 15 ecuaciones con 15 incógnitas. Un método de solución, por tanto, sería tantear soluciones que satisfagan estas 15 ecuaciones y las condiciones de contorno impuestas. Sin embargo este sistema de ecuaciones no es práctico, por lo que lo reduciremos a sistemas más manejables en función de las condiciones de borde que tengamos. El procedimiento de reducción es similar al utilizado en la parte que acabamos de estudiar, de deformación plana.

Empezaremos con la formulación de los desplazamientos. Sustituyendo las Ec. (4.2) en las (4.3) obtenemos seis ecuaciones ecuaciones «tensión-desplazamiento» de la forma:

$$\begin{split}\sigma_x&=\lambda\,\varepsilon +2G\frac{\partial... ...}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial z}\right) \end{split}$$ (4.17)

donde, como sabemos, $\varepsilon =\varepsilon _x+\varepsilon _y+\varepsilon _z=\partial u/\partial x+\partial v/\partial y+\partial w/\partial z$. Junto con las tres ecuaciones de equilibrio (4.1), tendremos un sistema con 9 ecuaciones y 9 incógnitas. Una vez resuelto, las componentes de la deformación se pueden calcular a través de la ley de Hooke.

Las 9 ecuaciones encontradas en el párrafo anterior pueden ser reducidas más, eliminando las tensiones y llegando a tres ecuaciones en desplazamientos con las tres incógnitas correspondientes a éstos. Eliminando las componentes de las tensiones, sustituyendo las Ec. (4.17) en las (4.1), encontramos:

$$\begin{split}&(\lambda+G)\frac{\partial \varepsilon }{\partia... ...artial \varepsilon }{\partial z}+G\nabla^2\,w+F_z=0 \end{split}$$ (4.18)

donde hemos utilizado la conocida notación:

$$\nabla^2=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$$

Este grupo se llama ecuaciones de equilibrio en términos de los desplazamientos y son más conocidas como ecuaciones de Navier

Si utilizamos este sistema de ecuaciones para resolver un problema en el que las fuerzas de superficie están prescritas sobre una parte del contorno, resulta conveniente expresar los términos de la derecha de las ecuaciones de las condiciones en el borde, Ec. (4.4) en función de las derivadas de los desplazamientos, o sea:

$$\begin{split}&T_x^\mu=\lambda\varepsilon \mu_x+G\left( \frac{... ...\mu_y+\frac{\partial w}{\partial z}\mu_z \right)\\ \end{split}$$ (4.19)

Una vez obtenida la solución de $u,\;v,\;w$, las componentes de la deformación se pueden obtener a través de las Ec. (4.2) y las de la tensión, de las Ec. (4.3) o bien (4.17).

Otro forma de reducir el número de ecuaciones y variables es la formulación en términos de las tensiones, es decir, eliminar todas las variables a excepción de las componentes de la tensión. Para ello, eliminaríamos primero las variables $u,\;v,\;w$, de las ecuaciones deformación-desplazamiento (4.2) obteniendo las ecuaciones de compatibilidad (2.2). Como se explicó en el Apartado 2.3, estas seis ecuaciones equivalen a tres ecuaciones de cuarto orden. Junto con las Ec. (4.1) y (4.3), forman un grupo de ecuaciones que se pueden resolver para las doce incógnitas^4.5.

El paso siguiente consiste en eliminar las componentes de la deformación de este último grupo, es decir estre las Ec. (4.1), (4.3) y (2.2). Para ello escribimos las dos últimas de las Ec. (4.1) de las forma:

$$\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z}=- \left(\frac{\partial \sigma_y}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+F_y \right)$$

y

$$\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}=- \left(\frac{\partial \sigma_z}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x}+F_z \right)$$

Derivando la primera respecto a $y$ y la segunda respecto a $z$ y sumando, obtenemos:

$$-2\frac{\partial ^2 \tau_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{\parti... ...al y} \right) +\frac{\partial F_z}{\partial z}+\frac{\partial F_y}{\partial y}$$

y usando la primera de las Ec. (4.1), queda:

$$-2\frac{\partial ^2 \tau_{yz}}{\partial y\partial z}=-\frac{\part... ..._x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$ (4.20)

Por otro lado, la segunda de las Ec. (2.2) y utilizando la ley de Hooke, Ec.(4.3), se puede escribir de la forma:

$$\frac{\partial ^2}{\partial z^2} [(1+\nu)\,\sigma_y-\nu\,\Theta]+... ...ma_z-\nu\,\Theta]=\frac{\partial ^2}{\partial y\partial z}[2(1+\nu)\,\tau_{yz}]$$ (4.21)

donde

$$\Theta=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z$$

Eliminando los términos que contienen $\tau_{yz}$ de las Ec. (4.20) y (4.21), obtenemos:

$$\begin{multline} (1+\nu)\left( \nabla^2\,\Theta-\nabla^2\,\sigma_x-\frac{\partia... ...artial F_y}{\partial y}-\frac{\partial F_z}{\partial z} \right) \end{multline}$$

Operando de la misma forma, se pueden obtener otras dos ecuaciones similares a la (4.22). Las tres ecuaciones son:

$$\begin{multline} \begin{split} (1+\nu)\left( \nabla^2\,\Theta-\nabla^2\,\sigma_x... ...{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} \right) \end{split}\end{multline}$$

y, finalmente, sumando las Ec. (4.23), se tiene el resultado:

$$\nabla^2=-\frac{(1+\nu)}{(1-\nu)}\left( \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} \right)$$ (4.22)

y sustituyendo este valor de $\nabla^2\Theta$ en la Ec. (4.22) se obtiene la primera de las ecuaciones que vienen a continuación. Las otras dos se deducen de forma análoga:

$$\begin{split}&\nabla^2 \sigma_x +\frac{1}{1+\nu} \frac{\parti... ...\partial x}+\frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \end{split}$$ (4.23)

Las seis ecuaciones (4.25) que son equivalentes a tres ecuaciones independientes de cuarto orden son las ecuaciones de compatibilidad en tensiones y son habitualmente conocidas como las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell en tensiones. Estas ecuaciones junto con las correspondientes al equilibrio, suponen seis ecuaciones independientes de las que se pueden obtener las seis conmponentes de las tensiones. Una vez conocidas las tensiones, las deformaciones se calculan a través de las Ec. (4.3), como ya hemos repetido, y los desplazamientos se pueden obtener integrando las Ec. (4.2)^4.6.

El desarrollo de las ecuaciones que acabamos de ver, se resume en la Tabla 4.2, análoga, por lo demás a la (4.1)^4.7.