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  \raise1ex\hbox{\underbar{\scriptsize o}}}
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  \raise1ex\hbox{\underbar{\scriptsize a}}}
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% Añadiendo una caja al titulo
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  \begin{center}\large\bf\textcolor{blue}{#1}\end{center}}
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\let\subtitulo\slideheading

\renewpagestyle{myheadings}{Ecuaciones constitutivas I \hfill }
{J.C. García Orden
%\hfil \thepage \hfil Madrid, 17 de septiembre de 1999}
\hfill \thepage \hfill Curso de doctorado 99-00}
\pagestyle{myheadings}

\title{
\mbox{}\\
Método de los elementos finitos para análisis no lineal \\ \mbox{} \\
\textcolor{blue}{
FORMULACIÓN Y ALGORITMOS DE SOLUCIÓN PARA PROBLEMAS NO LINEALES} \\ \mbox{}
\author{Juan Carlos García Orden} \\ \mbox{} \\
\date{
%ETS Ingenieros Caminos, Canales y Puertos.\\
Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras \\
%Universidad Polit\'{e}cnica de Madrid\\
Curso de doctorado 99/00
}}

\begin{document}

{\slidepagestyle{empty}
\begin{slide}
\centering
\maketitle
\end{slide}
}

\begin{slide}
\listofslides
\end{slide}

\clearpage
\setcounter{slide}{0}

% *********************

%\begin{slide}
%\titulo {Análisi lineal mediante E.F. (resumen)}
%\begin{itemize}
%\item EST\'ATICA
%\end{itemize}
%$$      
%\begin{array}{ccccccc}
%\mbox{(S)}& \Longleftrightarrow &\mbox{(W)} & \approx & \mbox{(G)}  & 
%\Longleftrightarrow & \mbox{(M)}  \\
%\mbox{F. fuerte del P.C.}  & & \mbox{F. débil} &  
%& \mbox{F. Garlerkin}&  & \mbox{F. Matricial}
%\end{array}
%$$

%$$
%\underbrace{\bm{K}  \cdot  \bm{d}}_{\bm{F}^{int}}  = 
%\underbrace{\bm{F}}_{\bm{F}^{ext}}
%$$
%\begin{itemize}
%\item DIN\'AMICA
%\end{itemize}
%$$      
%\begin{array}{ccccccc}
%\mbox{(S)}& \Longleftrightarrow &\mbox{(W)} & \approx & \mbox{(G)}  & 
%\Longleftrightarrow & \mbox{(M)}+\mbox{Integrador}  \\
%\mbox{F. fuerte del P.C.V.I.}  & & \mbox{F. débil} &  
%& \mbox{F.Galerkin}&  & \mbox{F.Matricial S.E.D.O}
%\end{array}
%$$

%$$
%\underbrace{\bm{M}^{*}}_{\mbox{masa eficaz}}  \cdot 
%\Delta \underbrace{\bm{a}}_{\mbox{aceleración}} = \underbrace{\bm{R}}_{\mbox{F. no equlibradas}}
%+ \mbox{fórmulas de actualización}
%$$
%\begin{itemize}
%\item en ambos casos, problema algebráico lineal: $\bm{A}\cdot\bm{x}= \bm{b}$.
%\end{itemize}
%\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Análisis no lineal mediante E.F.}
$$      
\underset{ \mbox{F. fuerte}}{(S)} 
\Longleftrightarrow \underset{\mbox{F. debil}}{(W)}
\approx  \underset{\mbox{F. Galerkin}}{(G)}   
\Longleftrightarrow  \underset{\mbox{F. matricial}}{(M)} 
$$
\begin{itemize}
\item Elastostática no lineal \\
{\em Formulación matricial}: Sistema de ecuaciones algebraicas:
$$
\underset{\mbox{(conocidas)}}{{\bf F}_{\rm ext}}
= \begin{cases}
{\bf K}\cdot {\bf u} \mbox{\hspace{15mm} (caso lineal)} \\
{\bf F}_{\rm int}({\bf u}) \mbox{   \hspace{7mm}(caso no lineal)},
\end{cases}
$$
siendo ${\bf u}$ el vector de desplazamientos nodales, producto
de una discretización espacial.
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Análisis no lineal mediante E.F. (cont.)}
\begin{itemize}
\item Elastodinámica no lineal \\
{\em Formulación matricial}: Sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias (S.E.D.O.):
\begin{equation*}
{\bf M}\cdot \ddot {\bf u} = {\bf F}_{\rm ext}-
\begin{cases}
({\bf C}\cdot \dot {\bf u} + {\bf K}\cdot {\bf u}) \mbox{\hspace{10mm} (Caso lineal)}\\
{\bf F}_{\rm int}({\bf u},\dot {\bf u}) \mbox{ \hspace{8mm} (Caso no lineal)}
\end{cases}
\end{equation*}
%siendo ${\bf u}(t)$ el vector de desplazamientos nodales (semidiscretización) y
%$\dot {()} \equiv d()/dt$. \\
$$
\begin{array}{c}
{\mbox S.E.D.O } \\
\Downarrow \\
\mbox{Método de integración temporal} \\
\Downarrow \\
\mbox{Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales}
\end{array}
$$
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Análisis no lineal mediante E.F. (cont.)}
Tanto en el caso estático como en el dinámico:
\begin{itemize}
\item Es necesario resolver 
problemas algebraicos no lineales.
\item Reducción a problemas algebraicos lineales (linealización), mediante estrategias incrementales iterativas (p.ej. Newton-Raphson).
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Formulación para régimen lineal}
\centering\epsfig{file=figa.eps,width=\linewidth}
\begin{itemize}
\item {\em Formulación:} Deformaciones infinitesimales
\begin{itemize}
\item Tensiones ingenieriles
\item Deformaciones infinitesimales: $\varepsilon_{ij}=\mbox{sim}\left(
u_{i,j}\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Régimen no lineal.
Pequeños desplazamientos y pequeñas deformaciones}
\centering\epsfig{file=figb.eps,width=\linewidth}
Únicamente no 
linealidad del material.
\begin{itemize}
\item {\em Formulación:} Deformaciones infinitesimales
\begin{itemize}
\item Tensiones ingenieriles
\item Deformaciones infinitesimales: $\varepsilon_{ij}=\mbox{sim}\left(
u_{i,j}\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Régimen no lineal: Grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones}
\centering\epsfig{file=figc.eps,width=0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item {\em Formulación Lagrangiana total}. 
Tensor de Green-Lagrange ($\bm{E}$),
segundo tensor de Piola-Kirchhoff ($\bm{S}$).
\item {\em Formulación Lagrangiana actualizada}.
Tensor de Almansi ($\bm{e}$),
tensor de Cauchy ($\bm{\sigma}$).
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Régimen no lineal: Grandes desplazamientos y grandes deformaciones}
\centering\epsfig{file=figd.eps,width=0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item {\em Formulación Lagrangiana total}.
Tensor de Green-Lagrange ($\bm{E}$),
segundo tensor de Piola-Kirchhoff ($\bm{S}$).
\item {\em Formulación Lagrangiana actualizada}. 
Tensor de Almansi ($\bm{e}$),
tensor de Cauchy ($\bm{\sigma}$).
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Régimen no lineal: Cambio de las condiciones de contorno}
\centering\epsfig{file=fige.eps,width=0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item Puede darse en cualquiera de los casos anteriores (lineal o no lineal).
\item Caso típico: contacto/impacto.
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Ec. de equilibrio: lagrangiana actualizada}.
\begin{itemize}
\item {\em Formulación fuerte}
\begin{eqnarray*}
\diver {\bm \sigma} + {\bm f} &=& {\bm 0} \ \mbox{ en } \ v \ \mbox{(volumen conf. deformada)}\\
{\bm u} &=& {\bm g} \quad \mbox{en} \quad \partial_u v \\
{\bm \sigma}{\bm n} &=& {\bm t} \quad \mbox{en} \quad \partial_t v 
\end{eqnarray*}
\item {\em Formulación débil}. Principio de los trabajos virtuales:
\begin{gather*}
\delta W = \int_v (\diver {\bm \sigma}+{\bm f}) \cdot \delta {\bm \nu}\, dv =0
\qquad \forall \delta {\bm \nu} \ \mbox{(velocidades virtuales)} \\
\underbrace{\int_v {\bm f}\cdot \delta {\bm \nu}\, dv
+ \int_{\partial_t v}{\bm t}\cdot \delta {\bm \nu}\, da}_{\displaystyle \delta W_{\rm ext}} 
=\underbrace{\int_v {\bm \sigma}:\delta {\bm d}\, dv}_{\displaystyle \delta W_{\rm int}} 
\end{gather*}
siendo ${\bm d}=\nabla^s {\bm \nu}$.
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Ec. de equilibrio. Lagrangiana total}.
\begin{itemize}
\item Formulación fuerte
\begin{eqnarray*}
\DIVER {\bm P} + {\bm f}_0 &=& {\bm 0} \ \mbox{ en } \ V \ \mbox{(volumen conf. referencia)}\\
{\bm u} &=& {\bm g} \quad \mbox{en} \quad \partial_u v \\
{\bm P}{\bm N} &=& {\bm t}_0 \quad \mbox{en} \quad \partial_t V 
\end{eqnarray*}
siendo ${\bm f}_0=J{\bm f}$ y ${\bm t}_0=(da/dA){\bm t}$ 
\item Formulación débil. $(\delta W = 0) \ \Longrightarrow \ (\delta W_{\rm ext}
=\delta W_{\rm int})$
\begin{align*}
\int_V {\bm f}_0 \cdot \delta {\bm \nu}\, dV 
+ \int_{\partial_t V} {\bm t}_0 \cdot \delta {\bm \nu}\, dA &= 
\int_V {\bm P}:\delta \dot {\bm F} \, dV \\
&= \int_V {\bm S}:\delta \dot {\bm E}\, dV
\end{align*}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Linealización del trabajo virtual interno}
$$D \delta W=D\delta W_{\rm int}- D \delta W_{\rm ext}$$
\begin{itemize}
\item Lagrangiana actualizada
\begin{equation*}
D \delta W_{\rm int}=\underbrace{\int_v \delta {\bm d} : {\bm c} : {\bm \varepsilon} \, dv}_{\mbox {material}}
+ \underbrace{\int_v {\bm \sigma} : \left [ {\left ( \nabla u \right ) }^{\rm T}
\nabla \delta {\bm \nu} \right ] \, dv}_{\mbox {geométrica}}
\end{equation*}
\item Lagrangiana total.
\begin{equation*}
D \delta W_{\rm int}=\int_V \delta \dot {\bm E}:{\mathcal C} : D{\bm E} \, dV
+ \int_V {\bm S}:
\left [ {\left ( \nabla_0 u \right ) }^{\rm T}
\nabla_0 \delta {\bm \nu} \right ] \, dV
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Cinemática discreta}
Elementos finitos isoparamétricos:
\begin{gather*}
{\bm X}=\sum_{a=1}^n N_a({\bm \xi}){\bm X}_a \ , \quad
{\bm x}=\sum_{a=1}^n N_a({\bm \xi}){\bm x}_a(t)  \\
{\bm F}=\sum_{a=1}^n {\bm x}_a \otimes \nabla_0 N_a \\
\delta {\bm d}=\frac{1}{2} \sum_{a=1}^n(\delta {\bm \nu}_a \otimes \nabla N_a
+ \nabla N_a \otimes \delta {\bm \nu}_q)
\ ; \quad
\delta {\bm \nu}=\sum_{a=1}^n N_a \delta {\bm \nu}_a \\
\nabla_0 N_a=\partial N_a / \partial {\bm X}={\left (\frac{\partial {\bm X}}{\partial {\bm \xi}} \right )}^{\rm -T}\frac{\partial N_a}{\partial {\bm \xi}}
\ ; \quad \frac{\partial {\bm X}}{\partial {\bm \xi}}
= \sum_{a=1}^n {\bm X}_a \otimes \nabla_\xi N_a \\
\nabla N_a=\partial N_a / \partial {\bm x}={\left (\frac{\partial {\bm x}}{\partial {\bm \xi}} \right )}^{\rm -T}\frac{\partial N_a}{\partial {\bm \xi}} 
\ ; \quad \frac{\partial {\bm x}}{\partial {\bm \xi}}
= \sum_{a=1}^n {\bm x}_a \otimes \nabla_\xi N_a 
\end{gather*}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Trabajo virtual discreto (lag. actualizado)}
\begin{itemize}
\item Contribución 
del elemento $\Omega^e$
al trabajo virtual interno: 
\begin{align*}
\delta W_{\rm int}^e&=\sum_{a=1}^n \int_{\Omega^e} {\bm \sigma}:(\delta {\bm \nu}_a \otimes \nabla N_a)\, dv \\
&=\sum_{a=1}^n \delta {\bm \nu}_a \cdot \left (\int_{\Omega^e} {\bm \sigma} \nabla N_a \, dv \right )
%=\delta {\bm \nu}^e \cdot {\bf F}_{\rm int}^e
\end{align*}
\item Contribución al trabajo virtual externo:
\begin{align*}
\delta W_{\rm ext}^e& =\sum_{a=1}^n \int_{\Omega^e} {\bm f} \cdot (N_a \delta
{\bm \nu}_a)\, dv 
+ \int_{\partial \Omega_t^e}{\bm t}\cdot (N_a \delta {\bm \nu}_a)\, da \\
&=\sum_{a=1}^n \delta {\bm \nu}_a \cdot \left (\int_{\Omega^e} N_a {\bm f}\, dv
+ \int_{\partial \Omega_t^e} N_a {\bm t}\, da \right )
%=\delta {\bm \nu}^e \cdot {\bf F}_{\rm ext}^e
\end{align*}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Formulación matricial}
\bul Notación matricial. $\underline{\bm \sigma}={(\sigma_{11}, \sigma_{22},
\sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23})}^{\rm T}$.
\begin{equation*}
\delta W_{\rm int}^e={(\delta {\bm \nu}^e)}^{\rm T} \cdot  
\left ( \int_{\Omega^e} {\bf B}^{\rm T} \underline {\sigma}\, dv \right )
={(\delta {\bm \nu}^e)}^{\rm T} \cdot  
{\bf F}_{\rm int}^e
\end{equation*}
donde
\begin{gather*}
{(\delta {\bm \nu}^e)}^{\rm T} =
(\delta {\bm \nu}_a^{\rm T},..,\delta {\bm \nu}_n^{\rm T}) \\
{\bf B}=
\left ( \begin{array}{cccccccccc}
\frac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial x} & 0 &0 & .. 
&\frac{\partial N_n}{\partial x} & 0 & 0 \\  
0 & \frac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & .. 
& 0 &\frac{\partial N_n}{\partial y} & 0 \\  
0 & 0 & \frac{\partial N_1}{\partial z} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial z} & .. 
& 0 & 0 &\frac{\partial N_n}{\partial z}\\  
\frac{\partial N_1}{\partial y} & \frac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & 
\frac{\partial N_2}{\partial y} & \frac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & .. & 
\frac{\partial N_n}{\partial y} & \frac{\partial N_n}{\partial x} & 0 \\
\frac{\partial N_1}{\partial z} & 0 & \frac{\partial N_1}{\partial x} & 
\frac{\partial N_2}{\partial z} & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial x} &  .. & 
\frac{\partial N_n}{\partial z} & 0 & \frac{\partial N_n}{\partial x} \\
0 & \frac{\partial N_1}{\partial z} & \frac{\partial N_1}{\partial y} & 
0 & \frac{\partial N_2}{\partial z} & \frac{\partial N_2}{\partial y} &  .. & 
0 & \frac{\partial N_n}{\partial z} & \frac{\partial N_n}{\partial y} \\
\end{array} \right )
\end{gather*}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Formulación matricial (cont.)}
\bul Ensamblaje
\begin{equation*}
\delta {\bf v}=
\overset{numel}{\underset{e=1}{\mbox{\bf \LARGE \textsf A}}}
\delta {\bm \nu}^e \; \qquad 
{\bf F}_{\rm int}=
\overset{numel}{\underset{e=1}{\mbox{\bf \LARGE \textsf A}}}
{\bf F}_{\rm int}^e \ ; \qquad
{\bf F}_{\rm ext}=
\overset{numel}{\underset{e=1}{\mbox{\bf \LARGE \textsf A}}}
{\bf F}_{\rm ext}^e 
\end{equation*}
\bul Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales:
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\delta W = \delta {\bf v} \cdot ({\bf F}_{\rm int} - {\bf F}_{\rm ext}) \ ; \qquad \forall \delta {\bf v} \\
\Downarrow \\
{\bf F}_{\rm int} - {\bf F}_{\rm ext} = {\bf 0}
\end{array}
\end{equation*}
%\pica{\em Observación}: Sólo en el caso lineal se puede establecer
%$$\underline {\bm \sigma}={\bf D} \underline {\bm \varepsilon}$$
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Linealización: matriz tangente material}
\bul Material:
\begin{equation*}
{(D \delta W_{\rm int}^e)}_{\rm mat}=
{(\delta {\bm \nu}^e)}^{\rm T} \cdot
\underbrace{\left (\int_{\Omega^e}{\bf B}^{\rm T} {\bf D} {\bf B}\, dv \right )}_{\displaystyle
{\bf K}_{\rm mat}^e}
{\bf u}^e
\end{equation*}
siendo ${\bf D}$ la matriz constitutiva, que verifica
$\delta {\bm d}:{\bm c}:{\bm \varepsilon}=\delta {\bf d}^{\rm T} {\bf D}
\underline {\bm \varepsilon}$, donde $\delta {\bf d}={\bf B}\delta {\bm \nu}$
%\end{slide}
% *********************

%\begin{slide}
%\titulo{Linealización: matriz tangente geométrica}
\bul Geométrica:
\begin{equation*}
{(D \delta W_{\rm int}^e)}_{\rm geom}=
{(\delta {\bm \nu}^e)}^{\rm T} \cdot
\underbrace{\left (\int_{\Omega^e}{\bf G}^{\rm T} \widehat {\bm \sigma}\, dv \right )}_{\displaystyle
{\bf K}_{\rm geom}^e}
{\bf u}^e
\end{equation*}
siendo ${\bf G}$ uma matriz lineal en las derivadas de las f. de forma
%y $\widehat {\bm \sigma}$ una matriz construida a partir de las componentes de 
%$\underline {\bm \sigma}$.
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Matriz tangente global}
\begin{itemize}
\item Ensamblaje
\begin{gather*}
{\bf K}_{\rm mat}=
\overset{numel}{\underset{e=1}{\mbox{\bf \LARGE \textsf A}}}
{\bf K}_{\rm mat}^e \ ; \qquad
{\bf K}_{\rm geom}=
\overset{numel}{\underset{e=1}{\mbox{\bf \LARGE \textsf A}}}
{\bf K}_{\rm geom}^e \\
{\bf K}={\bf K}_{\rm mat} + {\bf K}_{\rm geom}
\end{gather*}
\item Resolución iterativa (p. ej., Newton-Raphson):
\begin{equation*}
DW_{\rm int}={(\delta {\bf v})}^{\rm T} {\bf K}{\bf u}
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Formulación elastostática no lineal}
\begin{itemize}
\item Hipótesis:
\begin{itemize}
\item pequeñas deformaciones
\item no lineal sólo en comportamiento del material
\end{itemize}
\item Formulación fuerte
$$
(S)\left\{
\begin{array}{rcc}
\sigma_{ij,j}+ b_i =0 & \mbox{en} & \Omega \\
u_i = g_i              &  \mbox{en} & \partial_u \Omega \\
\sigma_{ij} n_j = t_i    &  \mbox{en} &\partial_t \Omega 
\end{array}
\right.
$$

\item Elasticidad
\begin{itemize}
\item Existe una función de densidad de energía elástica $W (\bm{\varepsilon},\bm{x})$ tal que:
$$
\sigma_{ij} = \frac{\partial W}{\partial \varepsilon_{ij}}
$$
donde 
$$
\varepsilon_{ij} =\frac{1}{2} (u_{i,j}+ u_{j,i})
$$
\item Tensor constitutivo de módulos elásticos tangentes:
$$
D_{ijkl}^{e}\eqdef\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial E_{kl}} =
\frac{\partial^2 W}{\partial E_{ij} \partial E_{kl}}
$$
Por ejemplo, en el caso de la elasticidad lineal:
\begin{eqnarray*}
W(\bm{\varepsilon},\bm{x}) &=& \frac{1}{2} D_{ijkl} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{kl} \\
	      &=& \frac{1}{2} \bm{\varepsilon} :\bm{D} :\bm{\varepsilon}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Formulación débil

Encontrar $\bm{u} \in {\cal S} \quad (u_i =g_i \mbox{ en } \partial_{u}\Omega)$

tal que  $\forall \delta \bm{u} \in \gamma \quad (\delta u_i = 0 \mbox{en} \partial_{u}\Omega)$ 

$$
\int_{\Omega} \delta u_{i,j} \sigma_{ij} d\Omega =
\int_{\Omega} \delta u_{i} b_{i} d\Omega +
\int_{\Gamma t} \delta u_{i} t_{i} d\Gamma
$$
\item Formulación de Galerkin

Encontrar $\bm{u}^h \in {\cal S}^h \quad (u_{i}^{h} =g_i
\mbox{ en } \partial_{u}\Omega)$

tal que  $\forall \delta \bm{u}^h \in \gamma^h \quad 
(\delta u_{i}^{h} = 0 \mbox{ en } \partial_{u}\Omega)$ 

$$
\int_{\Omega} \delta u_{i,j}^{h} \sigma_{ij} d\Omega =
\int_{\Omega} \delta u_{i}^{h} b_{i} d\Omega +
\int_{\Gamma t} \delta u_{i}^{h} t_{i} d\Gamma
$$
\item Formulación matricial
\begin{eqnarray*}
\bm{F}^{int} &=& \bm{N} (\bm{d},\bm{Q}) \\
&=&\mbox{\Large {\bf {\sf A}}}
\left(\int_{\Omega_e}\bm{B}^T \cdot \bm{\sigma} d\Omega\right)
\end{eqnarray*}

$$
\int_{\Omega e}\delta u_{i,j} \sigma_{ij} d\Omega =
\underbrace{
\left[\int_{\Omega e}\bm{B}^T\cdot \bm{\sigma}d\Omega\right]}_{\bm{N}(\bm{d},\bm{Q})}
\bm{d}^{*}=
\underbrace{
\left[\int_{\Omega_{e}} \bm{B}^T \cdot \bm{D}\cdot\bm{\sigma} d\Omega\right]}_{\mbox{sólo
en caso lineal}} \bm{d}^{*}
$$
\end{itemize}

\end{slide}

% *********************
\begin{slide}
\titulo{Ejemplo: Formulación lagrangiana total}
\begin{itemize}
\item Formulación fuerte
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left( \frac{\partial x_{i}}{\partial X_{k}}
S_{jk} \right) +\rho_{0} b_{i} &=& 0 \;\;\;\;\;\mbox{en } \Omega \\
S_{ij} n^{0}_{j}&=& \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}} \tau^{0}_{k} \;\;\;\;\; \mbox{en } \partial_{t} \Omega \\
u_{i}&=&\overline{u}_{i}\;\;\;\;\;  \mbox{en } \partial_{u} \Omega
\end{eqnarray*}
\item Trabajos virtuales
$$
\int_{\Omega_{0}}\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left( \frac{\partial x_{i}}{\partial X_{k}} 
S_{jk} \right) \delta u_{i} d\Omega
+\int_{\Omega_{0}} \rho_{0} b_{i} \delta u_{i} d \Omega=0
$$
y aplicando el teorema de Gauss:
$$
\int_{\Omega_{0}} \frac{\partial x_i}{\partial X_j}
\frac{\partial \delta u_{i}}{\partial X_j} S_{jk} d\Omega-
\int_{\partial_t \Omega_{0}} \tau_{i} \delta u_i d \gamma-
\int_{\Omega_{0}} \rho_{0} b_i \delta u_i d \Omega=0
$$
\item Interpolación por elementos finitos
\begin{eqnarray}
u_{i}&=&\sum_{I=1}^{n_{\rm node}} N_I(\bm{X}) u_{iI} \label{eq1} \\
\delta u_{i}&=&\sum_{I=1}^{n_{\rm node}} N_I(\bm{X}) \delta u_{iI} \label{eq2} \\
\tilde{B}_{iI}&=&\frac{\partial N_{I}}{\partial X_{i}} \label{eq3} \\
x_{i}&=&\sum_{I=1}^{n_{\rm node}} N_I(\bm{X}) x_{iI} \;\;\;\;\;
\mbox{\tiny (elementos isoparamétricos)} \label{eq4}
\end{eqnarray}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Vector de fuerzas internas

Se define sustituyendo (\ref{eq1},\ref{eq2},\ref{eq3},\ref{eq4}) en el primer sumando
de la expresión de los trabajos virtuales:
\begin{equation}
f^{(e){\rm int}}_{iI}=\int_{\Omega_{0}^{e}} \tilde{B}_{jI} x_{iJ} \tilde{B}_{kJ}
S_{kj} d \Omega \label{fint}
\end{equation}

\item Rigidez tangente

Linealizando el vector de fuerzas internas, se obtiene la relación tangente
entre las fuerzas internas y los desplazamientos nodales:
$$
\dot{\bm{f}}^{\rm int}=\bm{K}_{t} \dot{\bm{u}}
$$
Haciendo la tasa de (\ref{fint}):
\begin{equation}
\dot{f}^{(e){\rm int}}_{iI}=\int_{\Omega_{0}^{e}} \tilde{B}_{jI} \tilde{B}_{kJ}
\left(\dot{x}_{iJ} S_{kj} x_{iJ} \dot{S}_{kj}\right) d \Omega \label{tasafint}
\end{equation}
y sustituyendo las relaciones (\ref{consti},\ref{grad},\ref{xb}):
\begin{eqnarray}
\dot{S}_{ij}&=&C_{ijkl} \dot{E}_{kl} \label{consti}\\
\frac{\partial x_{i}}{\partial X_k}&=&\delta_{ik}+\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{k}} \label{grad} \\
x_{iI}\tilde{B}_{kI}&=&\delta_{ik}+u_{iI} \tilde{B}_{kI} \label{xb}
\end{eqnarray}
en (\ref{tasafint}), resulta:
$$
\dot{\bm{f}}^{\rm int}=\left(
\bm{K}^{(e) \, {\rm inc}}+
\bm{K}^{(e) \, {\rm str}}+
\bm{K}^{(e) \, {\rm rot}} \right)
 dot{\bm{u}}
$$
siendo:
\begin{eqnarray*}
\bm{K}^{(e) \, {\rm inc}}_{ijIJ}&=&
\int_{\Omega^e_0} \tilde{B}_{kI} C_{ikjl} \tilde{B}_{lJ} d\Omega \\
\bm{K}^{(e) \, {\rm str}}_{ijIJ}&=&
\int_{\Omega^e_0} \tilde{B}_{kI} S_{kl} \tilde{B}_{lJ} \delta_{ij} d\Omega \\
\bm{K}^{(e) \, {\rm rot}}_{ijIJ}&=&
\int_{\Omega^e_0} \tilde{B}_{kI} \left(
\frac{\partial u_i}{\partial X_l} C_{kljs} \tilde{B}_{sJ}+
\frac{\partial u_j}{\partial X_r} C_{kljs} \tilde{B}_{sJ}\frac{\partial x_{i}}{\partial X_{l}}
\right) d\Omega \\
\end{eqnarray*}
Por tanto, la matriz de rigidez tangente consta de tres partes:
\begin{enumerate}
\item $\bm{K}^{(e) \, {\rm inc}}$: matriz de rigidez incremental. Expresa
la variación de las fuerzas nodales debido a las deformaciones incrementales
del material.
\item $\bm{K}^{(e) \, {\rm str}}$: matriz de tensiones iniciales. Expresa
la variación de las fuerzas nodales debido a la rotación de elementos bajo
estados de tensión.
\item $\bm{K}^{(e) \, {\rm rot}}$: matriz de rotaciones iniciales. Expresa
la variación de las fuerzas nodales a causa de expresar 
$\bm{K}^{(e) \, {\rm inc}}$ y
$\bm{K}^{(e) \, {\rm str}}$ en la configuración original del sólido. Esta
matriz es nula en la formulación lagrangiana actualizada.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\begin{center}
\titulo{Resolución incremental (Euler)}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Fuerzas exteriores parametrizadas por el (pseudo-)tiempo
\item Se quiere resolver:
$$
\bf{0} =\underbrace{\bm{F}^{ext}}_{\bm{F}^{ext} (t)} -
\underbrace{\bm{F}^{int}}_{\bm{N}(\bm{d},\ldots)}
$$
\item Esquema iterativo
\begin{enumerate}
\item Linealización
$$
\bm{K} \cdot \Delta \bm{d} = \bm{R}_{n+1} \eqdef \bm{F}^{ext}_{n+1}-
     \bm{F}^{int}_{n}
$$
\item Actualización de desplazamientos
$$
\bm{d}_{n+1} = \bm{d}_{n} + \Delta \bm{d}
$$
\item Siguiente incremento
$$
n \leftarrow n+1
$$
\end{enumerate}
\item Inconveniente: error creciente, no controlado
\item Matriz $\bm{K}$ ? $\rightarrow$ Tangente consistente
\end{itemize}

\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Resolución incremental iterativa (Newton-Raphson)}
\begin{itemize}
\item $i$ iteración, $n$ incremento 
\item Esquema iterativo:
\begin{enumerate}
\item $i =0$
\item $\bm{d}^{(i)} =\bm{d}_{n}$
\item Linealización:
$$
\bm{K}_{t} (\bm{d}^{(i)})\cdot \Delta \bm{d}^{(i)} =
\underbrace{\bm{F}_{n+1}^{ext} -\bm{F}^{int}(\bm{d}^{(i)})}_
{\eqdef \bm{R}^{(i)}}
$$
\item Actualización:
$$
\bm{d}^{(i+1)} = \bm{d}^{(i)}+ \Delta \bm{d}^{(i)}
$$
\item Control de la convergencia (toleracia $\epsilon$):
$$
\|\bm{R}^{(i+1)}\| < \epsilon \|\bm{R}^{(0)}\| ?
$$
\begin{itemize}
\item NO: $i\rightarrow i+1$ e IR A $3$
\item SI:
\begin{eqnarray*}
\bm{d}_{n+1}&\rightarrow&\bm{d}^{(i+1)} \\
n&\rightarrow& n+1 \\
\mbox{}&\mbox{IR A }1 & \mbox{}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Tolerancia prefijada,
\item En la práctica, a menudo se sustituye la tangente consistente por otras
aproximadas (Newton Modificado.)
\item Orden de convergencia: cuadrático
$$
\|\bm{e}^{(i)}\| = \|\bm{d}^{(i)} - \bm{d}\|
$$
$$
e^{(i+1)} \leq c |e^{(i)}|^{2}
$$
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Matriz tangente consistente}
\begin{itemize}
\item En general, un problema no lineal con formulación en desplazamientos
queda plantado con:
$$\bm{f}^{\rm int}=\bm{f}^{\rm ext}$$
siendo:
$$\bm{f}^{int} = \bm{N} (\bm{d})$$
\item Linealizando:
$$\bm{K}_t (\bm{d}) \Delta \bm{d}=\bm{f}^{\rm ext}$$
con:
$$
\bm{K}_t (\bm{d}) = \frac{\partial \bm{N}}{\partial \bm{d}} =
\left[ \frac{\partial N_P}{\partial d_Q}\right], \quad 1\leq P, Q \leq n_{eq}
$$
\item Ejemplos:
\begin{enumerate}
\item Hiperelasticidad 

$$\exists \Phi (\bm{d}) \mbox{ tal que }
\bm{N} = \frac{\partial \Phi}{\partial \bm{d}}
$$
Llamando 
$$\quad N_P = \frac{\partial \Phi}{\partial d_P}$$
la matriz de rigidez es:
$$
K_{PQ} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial d_P \partial d_Q}= \frac{\partial N_P}{\partial d_Q}    
$$
\item Hipoelasticidad

$$
\bm{K}_t = A^{nel}_{e=1} \left( \int_{\Omega^{e}} \bm{B}^{T} : \bm{D} :\bm{B} d\Omega\right)
$$
siendo:

$\bm{D}$: matriz de módulos tangentes
\item Plasticidad: matriz algorítmicamente consistente. 

Las ecuaciones de
la plasticidad se integran mediante un algorítmo consistente con el de solución
de las ecuaciones de equilibrio global (con el mismo orden de convergencia). 
La matriz de módulos tangentes elastoplásticos resultante se denomina
{\em algorítmicamente consistente}.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Métodos cuasi-Newton (secantes)}
\begin{itemize}
\item Concepto (1 g.d.l.)

\begin{center}
%\input{csn.pic}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Conocidos $d^{(i+1)}$ y $d^{(i)}$, se calcula el incremento del 
residuo:
$$
\Delta R^{(i)} = R^{(i+1)} - R^{(i)} = -[N(d^{(i+1)}) - N (d^{(i)})]
$$
\item y la Matriz Secante:
$$
\bm{K} = \frac{-\Delta R^{(i)}}{\Delta d^{(i)}}
$$
\item $d^{(i+2)}$ se obtiene de:
$$
\bm{k} (d^{(i+2)} - d^{(i+1)}) = R^{(i+1)}
$$
\end{itemize}
\item Generalización para $neq$ g.d.l:
$$
\bm{K} \underbrace{(\bm{d}^{(i+1)}-\bm{d}^{(i)}}_{\mbox{conocido}} =
-\underbrace{\Delta \bm{R}}_{\mbox{conocido}}
$$
\item No se define $\bm{K}$ de manera única
\item Distintas definiciones de $\bm{K}$: BFGS, D, DFP
\item El orden de convergencia es menor que con Newton-Raphson. A menudo, 
se acelera la convergencia del cuasi-Newton con Line Search:
$$
\bm{d}^{(i+1)} =\bm{d}^{(i)}+ \eta \Delta \bm{d}^{(i)}
\quad\rightarrow\quad \bm{K} \cdot \eta \Delta\bm{d}^{(i)}= -\Delta\bm{R}^{(i)}
$$
\end{itemize}
\end{slide}

% ***************

\begin{slide}
\titulo{Aceleración de la convergencia (``Line Search'')}
\begin{itemize}
\item Concepto: Modificar el resultado de la iteración cuasi-Newton:
$$
\Delta \bm{d}^{(i)} = -\bm{K}^{-1}_{t} \cdot \bm{R}^{(i)}
$$
en dirección $\Delta\bm{d}^{(i)}$:
$$
\bm{d}^{(i+1)} = \bm{d}^{(i)} + \eta \Delta \bm{d}^{(i)}
$$
\item Los algorítmos de Line-Search tienen por objeto determinar el valor
de $\eta$:
\begin{enumerate}
\item Si $\exists$ Energía Potencial total:
$$
P =\underbrace{\Phi(\bm{d})}_{\frac{1}{2}\bm{d}\cdot\bm{k}\cdot\bm{d}\mbox{ \footnotesize LINEAL}}
-\bm{d}\cdot\bm{F}^{ext}
$$
buscando el valor estacionario de $P$:
\begin{eqnarray*}
P(\eta +\delta\eta) &=& P(\eta) +\frac{\partial P}{\partial \bm{d}}\cdot
\frac{d \bm{d}}{d\eta} \cdot \delta\eta +\ldots  \\
		     &=& P(\eta)-\underbrace{\bm{R}^{(i+1)}\cdot\Delta\bm{d}^{(i)}}_{=0} \cdot\delta\eta+\ldots
\end{eqnarray*}
Por ejemplo, en el caso lineal:
\begin{eqnarray*}
0=\bm{R}^{(i+1)} \Delta\bm{d}^{(i)}&=&
\bm{R}^{(i)}\Delta\bm{d}^{(i)} -\eta\Delta\bm{d}^{(i)}\bm{K} \Delta\bm{d}^{(i)} \Rightarrow \\
\eta &=& \frac{\Delta\bm{d}^{(i)}\cdot\bm{R}^{(i)}}{\Delta\bm{d}^{(i)} \cdot\bm{K}\cdot\Delta\bm{d}^{(i)}}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{slide}

% ***************

\begin{slide}
\begin{enumerate}
\item Generalización (con o sin potencial, lineal/no lineal):

escoger $\eta$ tal que 
$$
\bm{R}^{(i+1)} = \bm{F}^{ext} -\bm{F}^{int} (\bm{d}^{(i+1)})
$$
tenga componente nula en dirección de $\Delta \bm{d}^{(i)}$:
$$
G (\eta)=
\Delta \bm{d}^{(i)} \cdot\bm{R}^{(i+1)}=0
$$
Esta expresión dá lugar a una ecuación no lineal en $\eta$
\begin{itemize}
\item según Crisfield: aceptar $\eta$ si
$$
|G(\eta)|\leq 0.8 |G(0)|
$$
\item Interpolación (extrapolación)
$$
\eta_{j+i} = \eta_{j}\left(\frac{-G_0}{G_j - G_0}\right)
$$
\item Limitar extrapolaciones
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{slide}


% *********************


\begin{slide}
\titulo{Método BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)}
\begin{itemize}
\item Esquema iterativo
\begin{enumerate}
\item Se calcula el incremento de desplazamientos con un esquema
cuasi-Newton:
$$
\Delta \bm{d}^{(i)} = -\bm{K}^{-1}_{t} \cdot \bm{R}^{(i)}
$$
\item Se aplica un line-search:
$$
\bm{d}^{(i+1)} = \bm{d}^{(i)} + \eta \Delta \bm{d}^{(i)}
$$
\item Se actualiza la inversa de la matriz de rigidez:
$$
\overline{\bm{K}}^{{-1}^{(i+1)}}_{t} =(\bf{1}+\bm{w}^{(i+1)}\bm{v}^{{(i+1)}^{T}}) \cdot\bm{K}^{-1}_{t}\cdot(\bf{1}+ \bm{v}^{(i+1)}
\bm{w}^{{(i+1)}^{T}})
$$
siendo:
\begin{eqnarray*}
\bm{w}^{(i+1)} &=& \frac{\Delta \bm{d}^{(i+1)}}{\Delta \bm{d}^{(i+1)}\cdot\Delta \bm{R}^{(i+1)}} \\
\bm{v}^{(i+1)} &=& -\Delta\bm{R}^{(i+1)} +\alpha^{(i+1)}\bm{R}^{(i+1)}\\
\alpha^{(i+1)} &=& \sqrt{-\frac{\eta^{(i+1)}\Delta \bm{R}^{(i+1)}\cdot\Delta \bm{d}^{(i+1)}}{R^{(i+1)}\delta\bm{d}^{(i+1)}}}
\end{eqnarray*}
\item $\alpha^{(i+1)}$ se compara con una tolerancia preestablecida y si es mayor,
se detiene el proceso de actualización de $K_{t}^{-1}$
\end{enumerate}
\item Propiedades
\begin{enumerate}
\item $\bm{K}^{-1}$ simétrica $\quad\Rightarrow \overline{\bm{K}}^{-1}$ simétrica
\item $\bm{K}^{-1}> 0$ y $\bm{v}\cdot\bm{w} \neq -1\quad\Rightarrow\quad
      \overline{\bm{K}}^{-1}> 0$
\item La matriz $\bm{K}^{-1}$ factorizada no se altera en los cálculos.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Criterios de convergencia}
\begin{itemize}
\item Criterio de fuerzas
\begin{eqnarray*}
\|\bm{R}\| &<& \epsilon_{f} \|\bm{F}^{\rm ext}\| \mbox{ (control de cargas)} \\
\|\bm{R}\| &<& \epsilon_{f} \|\bm{F}^{\rm reac}\| \mbox{ (control de desplazamientos)}
\end{eqnarray*}
\item Criterio de desplazamientos
\begin{eqnarray*}
\|\Delta \bm{d}^{(i)}\| &<& \epsilon_{d} \| \bm{d}^{(0)}\| \;\;\mbox{ (totales)} \\
\|\Delta \bm{d}^{(i)}\| &<& \epsilon_{d} \| \bm{d}^{i} -\bm{d}^{(0)}\| \;\;\mbox{ (incrementales)}
\end{eqnarray*}
\item Criterio de energía
$$
\|\Delta \bm{d}^{(i)} \cdot \bm{R}\| \leq \epsilon_{W} \|\bm{d}\cdot \bm{F}^{ext}\|
$$
\item Observaciones

\begin{itemize}
\item El criterio de fuerzas es el más adecuado generalmente
\item $\|\Delta\bm{d}^{(i)}\|$ puede ser pequeño, aunque
$\|\bm{R}^{(i+1)}\|$  sea grande
\item Idem para energía
\item Conviene emplear varios criterios, de forma redundante
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Control de desplazamientos}
\begin{itemize}
\item La formulación matricial del problema
$$
\bm{K}_{t}\cdot\Delta \bm{d}^{(i)} = \bm{R}^{(i)}
$$
se reescribe en la forma:
$$
\left(
\begin{array}{cc}
\bm{K}_{ee} & \bm{K}_{ep} \\
\bm{K}_{pe} &\bm{K}_{pp}
\end{array}
\right)
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta\bm{d}_{e} \\
\Delta\bm{d}_{p} 
\end{array}
\right\} =
\left\{
\begin{array}{l}
\bm{R}_e \\
\bm{R}_p
\end{array}
\right\} \qquad e: \mbox{ libre } \qquad p: \mbox{ prescrito }
$$

e imponiendo los desplazamientos prescritos: $\bm{d}_{p} \neq \bf{0}$, se
obtiene:

$$
\left(
\begin{array}{cc}
\bm{K}_{ee} & \bf{0} \\
\bf{0} &\bf{1}
\end{array}
\right)
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta\bm{d}_{e} \\
\Delta\bm{d}_{p}^{n} 
\end{array}
\right\} =
\left\{
\begin{array}{c}
\bm{R}_e -\bm{K}_{ep} \Delta\bm{d}_{p}^{n} \\
\bm{d}_p^{n}
\end{array}
\right\}
$$
\item Lo normal es tener los desplazamientos impuestos parametrizados con 
el pseudo-tiempo

$$\bm{d}_{p}^{n} =\bm{d}_{p} (t_{n})$$
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\titulo{Métodos de longitud de arco}
\begin{itemize}
\item Ecuación de equilibrio:
\begin{equation}
\bm{R} (\bm{d},\lambda) = \bm{F}^{int}-\lambda \bm{F}^{ext} =\bf{0}
\label{equil}
\end{equation}
siendo $\lambda$ un parámetro escalar de carga (incógnita)

\item Definición de longitud de arco:
$$
s\eqdef \int ds= \int \sqrt{d\bm{d} \cdot d\bm{d} +d\lambda^2 \psi^2\bm{F}^{ext}\cdot\bm{F}^{ext}}
$$
$\psi$ parámetro de escala carga / desplazamiento

$\lambda(s)$ función de la longitud de arco
\item La ecuación de equilibrio se reparametriza en la forma:
$$
\bm{R}(s) =\bm{F}^{int} (\bm{d}(s))- \lambda (s) \bm{F}^{ext} = \bf{0}
$$
\item En la práctica, la ecuación de la longitud de arco se plantea
de forma incremental:
\begin{equation}
a=[\Delta\bm{d}\cdot\Delta\bm{d} +\Delta\lambda^2\psi^2\bm{F}^{ext}\cdot\bm{F}^{ext}]
-\Delta l^2 =0 \label{arclen}
\end{equation}
siendo $\Delta l$ el radio fijo de la intersección:

\begin{center}
%\input{arclen.pic}
\end{center}

\end{itemize}
\end{slide}

% *********************

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item El sistema queda planteado con $n_{eq}+1$ ecuaciones (\ref{equil},
\ref{arclen}) y $n_{eq}+1$ incógnitas ($\bm{d}$ y $\lambda$). Para
su resolución se linealiza mediante un desarrollo en serie de Taylor:

\begin{eqnarray}
\bm{R}_{n+1}^{(i+1)} &=& \bm{R}_{n+1}^{(i)} + \bm{K}_{t} \Delta\bm{d}^{(i)}-\bm{F}^{ext}\Delta \lambda^{(i)} =\bf{0} 
\label{equil2}\\
a_n &=& a_0 + 2\Delta \bm{d}{\Delta\bm{d}^{(i)}}+
2\Delta\lambda{\Delta\lambda^{(i)}} \psi^2 \bm{F}^{ext}
\cdot\bm{F}^{ext} =0 \label{arclen2}
\end{eqnarray}

donde
$$
\bm{R}_{n+1}^{(i)} = \lambda_{n+1}^{(i)} \bm{F}^{ext}-\bm{F}^{int} (\bm{d}_{n+1}^{(i)})
$$
Combinando las ecuaciones (\ref{equil2},\ref{arclen2}), se obtiene:
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\Delta \bm{d}^{(i)} \\
\Delta \lambda^{(i)}
\end{array}
\right\} =
\left(
\begin{array}{cc}
\bm{R}_{t}  &  -\bm{F}^{ext} \\
2\Delta\bm{d}^T  & 2\Delta\lambda\psi^2\bm{F}^{ext}\cdot\bm{F}^{ext}
\end{array}
\right)^{-1}
\left\{
\begin{array}{cc}
\bm{R}^{(i)}_{n+1} \\
-a_0
\end{array}
\right\}
$$
\item Este sistema se resuelve de acuerdo con el siguiente esquema:
\begin{enumerate}
\item Se resuelve para $\Delta \bm{d}^{(i)}$, en función de $\Delta\lambda^{(i)}$ (desconocido)

\item Sustituyendo en la 2\ª ecuación, se calcula $\Delta\lambda^{(i)}$

\item Elección de $\psi$ (puede ser $\psi =0$)

\item Combinación con line-search:
$$
0= G (\eta^{(i)}) = \Delta\bm{d}^{(i)}\cdot [\lambda_{n+1}^{(i)} \bm{F}^{ext}-
\bm{F}^{int} (\bm{d}^{(i)}_{n+1} +\eta^{(i)}\Delta\bm{d}^{(i)})]
$$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{slide}

% *********************


\end{document}
