\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{isolatin1}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{jg}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\setlength{\textheight}{235mm}
\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mecánica}\\*[4mm]
PROBLEMA PUNTUABLE (19 de Diciembre de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\º \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
%\noindent{\em Ejercicio 5\º} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{95mm}{

Un disco homogéneo de masa $M$ y radio $R$ rueda sin deslizar sobre
una recta horizontal, manteniendose en un plano vertical. 
En el perímetro del disco y a $120^\circ$ estan situadas dos
masas puntuales $M$, de forma que no estorban la rodadura.
En un instante dado el conjunto está situado con las dos masas
puntuales en una misma vertical (ver figura), y con velocidad
angular $\dot \theta_0$.\\

}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil
\input 713probl.pic
% \epsfxsize=65mm
% \epsffile{713probl.eps}
}

{\bf {Para este instante}} se pide:
\begin{enumerate}
  \item Ecuaciones diferenciales del movimiento que resultan de aplicar
        los teoremas de cantidad de movimiento y momento cinético
        al sistema conjunto en función de $\ddot \theta$ y de la reacción
        del enlace debido a la recta. 
  \item Eliminar la reacción del enlace para obtener una única ecuación
        diferencial en $\ddot \theta$. 
  \item Obtener las componentes de la reacción.  
  \item Valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre disco y recta
        para que no se produzca deslizamiento. 
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{5mm}
\noindent
\parbox{95mm}{
\paragraph{1.-}
El Centro de Masas del sistema rígido conjunto está situado
en la horizontal por el centro del disco, $R/3$ a la izquierda del mismo. El momento de inercia en este punto
vale
\[
  I_G=\frac{1}{2}MR^2+M\left(\frac{R}{3}\right)^2
      +2M\left(\frac{3}{4}R^2+\frac{1}{36}R^2 \right)
     =\frac{13}{6}MR^2.
\]
}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil
\input 713prob1.pic
}


Con los ejes de la figura, la aceleración de $G$ tiene las
componentes
\[
  (a_G)_x=-R\ddot\theta+\frac{R}{3}\dot\theta^2
  ;\quad
  (a_G)_y=-\frac{R}{3}\ddot\theta
\]
Denominando $H$ y $V$ a las componentes de la reacción, las
ecuaciones pedidas son
\begin{eqnarray}
  H = 3M\left(-R\ddot\theta+\frac{R}{3}\dot\theta^2 \right) 
  \label{1} \\
  V-3Mg = 3M\left(-\frac{R}{3}\ddot\theta \right) \label{2} \\
  HR+V\frac{R}{3} = \frac{13}{6}MR^2 \ddot\theta \label{3}
\end{eqnarray}

\paragraph{2.-}
Eliminando $H$ y $V$ de (\ref{3}) mediante las ecuaciones
(\ref{1}) y (\ref{2}), resulta
\begin{equation}
  \ddot\theta = \frac{2}{11} \left(\dot\theta^2+\frac{g}{R}
                \right)
  \label{4}
\end{equation}

\paragraph{3.-}
Mediante (\ref{4}) podemos eliminar $\ddot\theta$ de las
expresiones de $H$ y $V$ en (\ref{1}) y (\ref{2})
respectivamente, para obtener
\begin{eqnarray}
  H=\frac{M}{11}(-6g+5R\dot\theta^2) \label{5} \\
  V=\frac{M}{11}(31g-2R\dot\theta^2) \label{6}
\end{eqnarray}

\paragraph{4.-}
El rozamiento definido por un coeficiente $\mu$ establece
que
\[ |H| \leq \mu |V|. \]
En el límite, el mínimo valor necesario de $\mu$ es aquél
para el que se produce la igualdad en la expresión anterior:
\[
  \mu_{\rm min}=\frac{|H|}{|V|}
               =\frac{|-6g+5R\dot\theta^2|}
                     {|31g-2R\dot\theta^2|}
\]

\end{document}
