\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mecánica}\\*[4mm]
PROBLEMA PUNTUABLE (27 de Noviembre de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\º \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
%\noindent{\em Ejercicio 5\º} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{70mm}{

En el mecanismo plano de la figura, la barra $OA$
gira alrededor del punto fijo $O$ con velocidad angular
$\dot \phi=\mbox{cte}$.
Un disco de radio $R$ se mueve de forma que desliza sobre
el eje $X$ a la vez que rueda sin deslizar sobre la barra $OA$.\\
}
\hfill
\parbox{90mm}{
\hfil
\input 709probl.pic
% \epsfxsize=90mm
% \epsffile{709probl.eps}
}

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item Velocidad y aceleración angular del disco. 
  \item Velocidad y aceleración del centro $C$ del disco. 
  \item Ecuación de la polar fija referida a OXY. 
  \item Velocidad y aceleración del punto $B$ cuando la barra
        forma $60^\circ$ con la horizontal.
\end{enumerate}

{\em {\underline {Nota}}:} Se recuerdan las relaciones trigonométricas siguientes:
\[
\tan\phi=\frac{2\tan\frac{\phi}{2}}{1-\tan^2\frac{\phi}{2}}
;\quad
2\sen^2\frac{\phi}{2}=1-\cos\phi
;\quad
\cos\phi=\cos^2\frac{\phi}{2}-\sen^2\frac{\phi}{2}
\]
\noindent\mbox{}\hrulefill\par

\vspace{5mm}

\noindent
\parbox{70mm}{
\paragraph{1)}
La velocidad del punto $D$ del disco en contacto con la
barra móvil, al rodar sin deslizar, debe ser igual que la
del punto correspondiente de la barra, llevando la dirección $DC$ normal a la misma. El centro instantáneo de rotación está situado en la intersección $I$ de las normales a la velocidad de $B$ (vertical por $B$) y a la velocidad de $D$ (la propia recta $OA$). Sus coordenadas son:
}
\hfill
\parbox{90mm}{
\hfil
\input 709prob1.pic
}
\begin{eqnarray}
X_I = \overline{OB} = \frac{R}{\tan (\phi/2)} = R\frac{1+\cos\phi}{\sen\phi } \label{1} \\
Y_I = \overline{OB}\cdot\tan\phi= \frac{R\tan\phi}{\tan (\phi/2)} = R\frac{1+\cos\phi }{\cos\phi} \label{2} 
\end{eqnarray}
El punto $C$ sigue una trayectoria horizontal cuya velocidad es
\begin{equation}
\bm{v}_C = \frac{d}{dt} (\overline{OB})\, \bm{i} =\frac{d X_I}{dt}\, \bm{i}=-R\dot{\phi}\frac{1+\cos\phi}{\sen^2\phi}\,\bm{i} =-R\dot{\phi} \frac{1}{1-\cos\phi}\, \bm{i}. \label{3}
\end{equation}
por otra parte, interpretando el movimiento como una rotación alrededor de $I$,
\begin{equation}
\bm{v}_C=\Omega\bm{k}\wedge\bm{IC}
        =\Omega\cdot\overline{IC}\,\bm{i}
        =\Omega \frac{R}{\cos\phi}\,\bm{i};\label{4}
\end{equation}
de las expresiones (\ref{3}) y (\ref{4}) se deduce
\begin{equation}
\Omega =-\dot{\phi}\frac{\cos\phi}{1-\cos\phi} = -\dot{\phi}\frac{1}{\tan\phi \tan(\phi/2)}
\label{5}
\end{equation}
y derivando esta expresión
\begin{equation}
\dot{\Omega} =\dot{\phi}^2 \frac{\sen\phi}{(1-\cos\phi)^2}.
\label{6}
\end{equation}

\paragraph{2)}
La velocidad de $C$ ya quedó expresada en (\ref{3}). Derivando ésta se obtiene la aceleración,
\begin{equation}
\bm{a}_C=R\dot{\phi}^2\frac{\sen\phi}{(1-\cos\phi)^2}\, \bm{i}
\label{7}
\end{equation}

\paragraph{3)}
La polar fija viene definida en cartesianas por (\ref{1}) y (\ref{2}) en función del parámetro $\phi$. En polares se definiría como
\begin{equation}
\rho = R\frac{1+\cos\phi}{\sen\phi\cos\phi}
\label{8}
\end{equation}

\paragraph{4)}
Al ser una rotación alrededor de $I$, la velocidad de $B$ es
\begin{equation}
\bm{v}_B = \Omega \bm{k} \wedge \bm{IB} = - R \dot{\phi}\frac{1+\cos\phi}{1-\cos\phi}\, \bm{i}\label{9}
\end{equation}
La expresión general del campo de aceleración permite calcular $\bm{a}_B$:
$$
\bm{a}_B =\bm{a}_C +\dot{\Omega} \bm{k}\wedge \bm{CB}-\Omega^2\bm{CB}
$$
y empleando (\ref{7}), (\ref{6}) resulta
\begin{equation}
\bm{a}_B = 2R\dot{\phi}^2\frac{\sen\phi}{(1-\cos\phi)^2}\, \bm{i} + R \dot{\phi}^2 \frac{\cos^2\phi}{(1-\cos\phi)^2}\,\bm{j}
\label{10}
\end{equation}

\declaracion{Nota:} Obsérvese que, de haber derivado la expresión (\ref{9}), habría resultado
$$
\frac{d}{dt} \bm{v}_B = 2R\dot{\phi}^2 \frac{\sen\phi}{(1-\cos\phi)^2}\, \bm{i},
$$
que no coincide con (\ref{10}), al no ser este resultado igual a la aceleración.
El motivo es que se está derivando una expresión basada en
posición particular de $I$, lo que no es correcto. 

Por último, particularizando (\ref{10}) para $\phi = 60^\circ$,
$$
\bm{v}_B = -3R\dot{\phi}\,\bm{i}; \quad \bm{a}_B = R\dot{\phi}^2 (4\sqrt{3}\,\bm{i} +\bm{j}).
$$

\end{document}
