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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mecánica}\\*[4mm]
PROBLEMA PUNTUABLE (8 de Noviembre de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\º \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
%\noindent{\em Ejercicio 5\º} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{100mm}{

Bajo la acción de la gravedad, una partícula $m$ se mueve 
sin rozamiento
en la cicloide (ver figura adjunta) definida
en forma paramétrica por las expresiones:
$$x=R(\theta-\sen\theta);\quad  y=-R(1-\cos\theta),$$ 
con $0\leq \theta \leq 2\pi$.
}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil
\input 702probl.pic
}

Del movimiento así definido se pide:
\begin{enumerate}
  \item Obtener la relación $s(\theta)$, siendo $s$ la longitud
        de arco medido desde el punto más bajo de la cicloide ($\theta=\pi$). 
  \item Hallar las expresiones de $T$ (Energía cinética).
        y $V$ (Energía potencial) en función de $s$ y $\dot s=ds/dt$.
  \item Obtener la ecuación dinámica del movimiento (ecuación diferencial
        de orden $2$ en $s(t)$).
  \item Si la partícula se libera, partiendo del reposo, desde la
        posición $s=-4R$ ($\theta=0$), obtener el tiempo que tarda
        en llegar al punto más bajo de la cicloide ($s=0$). 
  \item Calcular el tiempo que tardaría la partícula en llegar
        al punto más bajo si se libera
        esta vez desde la posición $s=-2R$ ($\theta=120^\circ$),
        partiendo también del reposo.
  \item Caracterizar el movimiento resultante, estableciendo
        la similitud con un péndulo simple en pequeñas oscilaciones,
        hallando la longitud equivalente del péndulo.
        ¿Qué diferencia existiría con un péndulo simple general, es
	decir, no limitado a pequeñas oscilaciones?. 
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{5mm}

\paragraph{1.-}
El elemento de arco se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas
del enunciado:
$$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta}\right)}^2}=
R\sqrt{2(1-\cos\theta)}=2R\sen\frac{\theta}{2}$$
Integrando entre $\pi$ y una posición genérica $\theta$ resulta:
\begin{equation}
  s(\theta)=-4R\cos\frac{\theta}{2},
  \label{eq:s}
\end{equation}
verificándose que $s(0)=-4R$, $s(\pi)=0$ y $s(2\pi)=+4R$.

\paragraph{2.-}
La energía cinética se expresa directamente como
$$T=\frac{1}{2}m\dot s^2.$$
Empleamos (\ref{eq:s}) para expresar el potencial en función de $s$:
$$V=mgy=-mgR(1-\cos\theta)=-2mgR\left[1-{\left(\frac{s}{4R}\right)}^2\right]$$

\paragraph{3.-}
La ecuación dinámica de 2\º orden se puede obtener a partir de la conservación
de la energía:
$$E=T+V=\mbox{cte.}\quad\Rightarrow\quad \frac{dE}{dt}=0$$
resultando
\begin{equation}
  \mathbox{\ddot s + \frac{g}{4R}s=0}
  \label{eq:din2}
\end{equation}

\paragraph{4.- y 5.-}
La ecuación obtenida corresponde a un movimiento armónico
simple, con frecuencia angular $\omega=\sqrt{g/(4R)}$
y periodo $\tau=2\pi/\omega$.
En los dos casos el tiempo empleado es el mismo y
corresponde a un cuarto del periodo,
\[T=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\]

\paragraph{6.-}
La ecuación del péndulo simple es
\begin{equation}
  \ddot\varphi+\frac{g}{l}\sen\varphi=0,
  \label{eq:pend}
\end{equation}
siendo $\varphi$ el ángulo formado por el hilo con la vertical. Si las oscilaciones
son pequeñas $(\sen\varphi\approx\varphi)$, resulta
\[
  \ddot\varphi+\frac{g}{l}\varphi=0,
\]
por lo que el movimiento definido por (\ref{eq:din2}) equivale a un péndulo
con pequeñas oscilaciones y longitud equivalente $l_{eq}=4R$.

En el péndulo simple general (\ref{eq:pend}), el período depende de la amplitud,
cosa que no ocurre en el caso de la cicloide (movimiento tautócrono). 
\end{document}
