Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO (16 de Septiembre de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 5\underline{o} Tiempo: 60 min.

Un cilindro hueco (sin tapas) de masa m, radio r y altura 2h puede girar libremente alrededor de un eje diametral fijo Oz que pasa por su centro. A su vez una barra homogénea AB de igual masa (m) se halla dentro del cilindro de forma que sus extremos A y B se mueven sin rozamiento sobre las circunferencias de las bases opuestas del cilindro, coincidiendo su centro con el del cilindro. Se aplica al cilindro un par τ según el eje z. Se pide:

1. Ecuaciones diferenciales del movimiento.

2. Valor del par τ para que el cilindro tenga un movimiento uniforme.

[figure: O; z; x; y; A; B; τ]

1.- Describiremos el movimiento mediante los ángulos θ (girado por el cilindro alrededor de Oz) y φ (giro de la barra respecto al cilindro alrededor de Oy, tomando el origen cuando A está en el punto más alto de la circunferencia). La expresión de la Lagrangiana del sistema es

L = T = \frac{1}{2}I_{z}^{cil}θ̇^{2} + \frac{1}{2}I^{barra}Ω_{n}^{2}  (1)

donde Ω_{n} es la componente de la velocidad de rotación de la barra normal a la misma, ya que según la propia barra su inercia es nula. Calculamos Ω_{n} mediante

Ω_{n}^{2} = Ω^{2} − (Ω · t)^{2}

donde t = OA/|OA| es el versor de la barra, cuya longitud llamaremos 2l, siendo l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}:

t = \frac{1}{l}(r sen φ, h, r cos φ); Ω = (0, φ̇, θ̇);

Ω_{n}^{2} = (φ̇^{2} + θ̇^{2}) − \frac{1}{l^{2}} (hφ̇ + rθ̇ cos φ)^{2}
= \frac{1}{l^{2}} [r^{2}φ̇^{2} + (h^{2} + r^{2} sen^{2} φ)θ̇^{2} − 2hrφ̇θ̇ cos φ]

Los momentos de inercia son

I_{z}^{cil} = m (\frac{h^{2}}{3} + \frac{r^{2}}{2} ) , I^{barra} = \frac{1}{3}ml^{2}.

Sustituyendo estos valores en (1), resulta la expresión de la Lagrangiana

L = \frac{m}{2} (\frac{h^{2}}{3} + \frac{r^{2}}{2} ) θ̇^{2} + \frac{m}{6} [r^{2}φ̇^{2} + (h^{2} + r^{2} sen^{2} φ)θ̇^{2} − 2hrφ̇θ̇ cos φ]  (2)

Para obtener las ecuaciones de Lagrange derivamos e incluimos como fuerza generalizada según la coordenada θ el par externo τ:

\frac{m}{3}r^{2}φ̈ − \frac{m}{3}hrθ̈cos φ − \frac{m}{3}r^{2}θ̇^{2} sen φ cos φ = 0  (3)

\frac{m}{3} (2h^{2} + \frac{3}{2}r^{2} + r^{2} sen^{2} φ) θ̈ + \frac{2m}{3}r^{2}θ̇φ̇ sen φ cos φ − \frac{m}{3}hrφ̈ cos φ + \frac{m}{3}hrφ̇^{2} sen φ = τ (4)

2.- El movimiento uniforme corresponde a θ̇ = ω; θ̈ = ω̇ = 0. Sustituyendo en (4):

τ = \frac{2m}{3}r^{2}ωφ̇ sen φ cos φ − \frac{m}{3}hrφ̈ cos φ + \frac{m}{3}hrφ̇^{2} sen φ;  (5)

y sustituyendo en (3):

φ̈ = ω^{2} sen φ cos φ,

ecuación que a su vez admite una integral directa,

φ̇^{2} = φ̇_{0}^{2} + ω^{2} sen^{2} φ,

siendo la constante φ̇_{0} el valor de φ̇ en φ = 0. Eliminando de esta manera φ̈ y φ̇ en la ecuación (5) queda finalmente:

τ = \frac{2m}{3}r^{2}ω\sqrt{φ̇_{0}^{2} + ω^{2} sen^{2} φ} sen φ cos φ − \frac{m}{3}hrω^{2} sen φ cos^{2} φ

+\frac{m}{3}hr(φ̇_{0}^{2} + ω^{2} sen^{2} φ) sen φ

es decir,

τ(φ) = \frac{2m}{3}r^{2}ω\sqrt{φ̇_{0}^{2} + ω^{2} sen^{2} φ} sen φ cos φ + \frac{m}{3}hr sen φ[φ̇_{0}^{2} + ω^{2}(2 sen^{2} φ − 1)]