Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO (16 de Septiembre de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 4\underline{o} Tiempo: 45 min.

Una pequeña anilla lisa A, de peso P, está ensartada en un hilo homogéneo de peso específico q, a lo largo del cual puede desplazarse libremente. Los extremos del hilo están atados a sendos clavos B y B′, situados a la misma altura y a una distancia entre ellos b. Se ejerce sobre la anilla A una fuerza horizontal H del mismo valor que su peso (H = P).

Se pide obtener la relación entre los pesos del hilo (total) y de la anilla, de forma que A quede en equilibrio justo en la vertical de B.

La fuerza aplicada sobre la argolla tiene la dirección a 45^{∘} descendente, que estará equilibrada por la resultante de las tensiones del hilo a ambos lados. Al ser lisa y no producir fuerzas tangenciales sobre el cable, la tensión a ambos lados es igual y la resultante sigue la bisectriz de las tangentes. Por tanto, si el tramo AB es vertical según dice el enunciado, la tensión en A correspondiente al tramo AB′ debe ser horizontal. Es decir, A es el vértice de la catenaria AB′.

[figure: B′; B; A; P; H = P; T; T]

El parámetro de la catenaria es a = P/q. Expresamos las longitudes de cada uno de los tramos:

S_{AB′} = a senh \frac{b}{a} = \frac{P}{q} senh \frac{bq}{P}

S_{AB} = z_{B′} − z_{A} = a cosh \frac{b}{a} − a = \frac{P}{q} (cosh \frac{bq}{P} − 1) ,

y sumando:

S = S_{AB′} + S_{AB} = \frac{P}{q} (senh \frac{bq}{P} + cosh \frac{bq}{P} − 1) = \frac{P}{q} (e^{(bq/P)} − 1) .

La relación pedida entre los pesos debe ser pues

r = \frac{qS}{P} = e^{(bq/P)} − 1.