Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO (16 de Septiembre de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 3\underline{o} Tiempo: 45 min.

El sistema de la figura está formado por dos barras iguales AC y BC de masa m y longitud 2l, articuladas en C. El conjunto está situado en un plano horizontal, estando ligados A y B a una recta r mediante deslizaderas lisas. A su vez entre A y B existe un resorte lineal de constante k cuya longitud natural (posición inicial) es también 2l. El sistema se utiliza para absorber un impacto I. Calcular el valor del mismo para que en el movimiento posterior las barras lleguen a estar alinea-

das. [figure: I; 2l; 2l; 2l; k; A; B; r; C]

La simetría existente respecto al eje Oy permite asegurar que C se moverá según la dirección del mismo, y los puntos A y B tendrán movimientos simétricos respecto del eje. Podemos estudiar pues tan sólo la barra BC, sobre la que repercutirá una percusión I/2, y a su vez sufrirá las percusiones reactivas Q (debido a la barra AC) y P (debido al enlace de la recta r). Las posiciones y velocidades de G en un instante genérico son:

x_{G} = l sen θ; y_{G} = l cos θ

ẋ_{G} = lθ̇ cos θ; ẏ_{G} = −lθ̇ sen θ [figure: B; r; Q; P; I/2; θ_{0}; l; l; G; y; x; O; C]

Establecemos las ecuaciones de balance de cantidad de movimiento y momento cinético de BC en el instante de la percusión:

P − \frac{I}{2} = −mlθ̇_{0} sen θ_{0};

Q = mlθ̇_{0} cos θ_{0};

\frac{I}{2}l sen θ_{0} + P l sen θ_{0} − Ql cos θ_{0} = \frac{1}{12}m(2l)^{2}θ̇_{0}.

Sustituyendo θ_{0} = 30^{∘} y despejando se obtiene

θ̇_{0} = \frac{3}{8} \frac{I}{ml},  (1)

que es la velocidad angular adquirida por la barra debido a la percusión.

Para que las barras lleguen a alinearse, la energía cinética adquirida debe permitir que se alcance la posición θ = π/2, siendo el mínimo necesario cuando se alcanza esta posición con velocidad nula. Establecemos la conservación de la energía entre ambas posiciones, teniendo en cuenta que (v_{G}|_{0})^{2} = l^{2}θ̇_{0}^{2}.

\frac{1}{2}ml^{2}θ̇_{0}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3}ml^{2}) θ̇_{0}^{2} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}k(2l)^{2}]

donde se ha considerado que la energía potencial del resorte correspondiente a esta mitad simétrica es un medio del correspondiente al resorte completo sometido al alargamiento 2l. De la ecuación anterior resulta la condición

θ̇_{0} = \sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{k}{m}},

y empleando la relación (??), para que se alcance o supere la posición alineada,

I ≥ \sqrt{\frac{32}{3}}l\sqrt{km}.