Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO (16 de Septiembre de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 2\underline{o} Tiempo: 45 min.

Responder a las siguientes cuestiones teóricas dentro del espacio provisto en la hoja para cada una. Las respuestas habrán de ser breves y directas, escritas con letra clara y a tinta. Donde se pida deducir o demostrar un resultado, deberán justificarse debidamente todos los pasos, mientras que si se pide discutir debe realizarse una discusión razonada. Se repartirá una hoja adicional para borrador, que no se recogerá, no permitiéndose tener sobre la mesa ninguna otra hoja, ni calculadoras ni libros de ningún tipo.

Deducción de las ecuaciones de Euler para un sólido rígido con un punto fijo, con momentos de inercia A, B, C en direcciones principales. Proponer un procedimiento de cálculo de las reacciones en el caso de que el sólido gire alrededor de un eje fijo (1 punto fijo + 1 cojinete de revolución). (5 ptos.)

•

Siendo O fijo, el teorema del momento cinético permite afirmar que M_{O} = dH_{O}/dt. Expresando H_{O} = I_{O} ·Ω y derivando a través del sistema del cuerpo (en el que las componentes del tensor de inercia I_{O} son constantes),

M_{O} = \frac{d}{dt}(I_{O} · Ω) = I_{O} · Ω̇ + Ω ∧ (I_{O} · Ω)

Tomando las componentes en los ejes principales, Ω = (p_{,}q, r) y M_{O} = (M_{x}, M_{y}, M_{z}), desarrollando la expresión anterior resultan las 3 ecuaciones (escalares) de Euler:

\{ \begin{matrix}M_{x} = Aṗ − (B − C)qr, \\ M_{y} = Bq̇ − (C − A)rp, \\ M_{z} = Cṙ − (A − B)pq. \end{matrix}

Sea ahora un sólido con un eje (O, e) fijo sobre el que actúan fuerzas exteriores activas con resultante F^{act} = ∑ f_{i}^{act} y momento M_{O}^{act} = ∑ r_{i} ∧ f_{i}^{act}. Suponemos el eje materializado por el punto O fijo y otro punto A que tiene impedido el movimiento transversal. Las reacciones en estos enlaces son R_{O} (orientación arbitraria) y R_{A} (normal al eje). Expresamos los teoremas de Momento cinético y Cantidad de movimiento:

OA ∧ R_{A} + M_{O}^{act} = I_{O} · Ω̇ + Ω ∧ (I_{O} · Ω) (1)
R_{O} +R_{A}+F^{act} = M \underbrace{[Ω̇ ∧ OG + Ω ∧ (Ω ∧ OG)]}_{a_{G}} (2)
[figure: e; B; O; R_{A}; R_{O}; d; A; f_{1}^{act}; f_{2}^{act}]

Conocidos Ω = Ωe y Ω̇ = Ω̇e, despejaríamos R_{A} de (1):

R_{A} = \frac{[I_{O} · Ω̇ + Ω ∧ (I_{O} · Ω) − M_{O}^{act}] ∧ OA}{|OA|^{2}}

y por último, de (2),

R_{O} = Ma_{G} − R_{A} − F^{act}

Enunciar y Demostrar las propiedades de ortogonalidad de los modos de vibración de un sistema de n grados de libertad con respecto a las matrices de masa y rigidez. (2.5 ptos.)

•

Sean dos modos de vibración {a_{k}} y {a_{l}} correspondientes a autovalores distintos λ_{k} ≠ λ_{l}. Se puede escribir

λ_{k}M M M M M M M M M M M M M M{a_{k}} = K K K K K K K K K K K K K K{a_{k}}  (1)
λ_{l}M M M M M M M M M M M M M M{a_{l}} = K K K K K K K K K K K K K K{a_{l}}  (2)

premultiplicando (1) por {a_{l}}^{T} y (2) por {a_{k}}^{T} y restando, resulta

(λ_{k} − λ_{l}){a_{k}}^{T}M M M M M M M M M M M M M M{a_{l}} = 0

donde se ha hecho uso de la simetría de M M M M M M M M M M M M M M y K K K K K K K K K K K K K K. Puesto que (λ_{k}−λ_{l}) ≠ 0 se obtiene la condición de ortogonalidad buscada:

{a_{k}}^{T}M M M M M M M M M M M M M M{a_{l}} = 0

o lo que es equivalente, considerando (2),

{a_{k}}^{T}K K K K K K K K K K K K K K{a_{l}} = 0

Definir sistema isostático y sistema hiperestático. (2.5 ptos.)

•

En cualquier sistema en equilibrio (estático) se verifican las llamadas ecuaciones cardinales de la estática para el conjunto del sistema:

F = ∑ F _{i}^{ext} = 0; M_{O} = ∑_{i} r_{i} ∧ F _{i}^{ext} = 0  (3)

Estas son por tanto condiciones necesarias. Sin embargo, pueden no ser suficientes para determinar las reacciones (internas o externas) en el sistema. Cuando son suficientes las 6 condiciones escalares dadas por (3) se dice que el sistema es isostático. Si por el contrario no son suficientes, se dice que es hiperestático. (En este último caso las ecuaciones que faltan se obtendrían a partir de la consideración de la deformabilidad de los cuerpos mediante la mecánica de medios continuos).