\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{1ex}
\noindent{\it Ejercicio 2\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{2ex}
% (texto del problema aqu�)

{\footnotesize
Responder a las siguientes cuestiones te�ricas {\em dentro del 
espacio provisto en la hoja} para cada una. Las respuestas habr�n de ser
breves y directas, escritas con letra clara y {\em a tinta}.
Donde se pida {\em deducir} o {\em demostrar} un resultado, 
deber�n justificarse debidamente todos los pasos, 
mientras que si se pide {\em discutir} debe realizarse una discusi�n
razonada.
Se repartir� una hoja adicional para borrador, que no se recoger�, 
no permiti�ndose tener sobre la mesa {\em ninguna otra hoja}, 
ni calculadoras ni libros de ning�n tipo.
}
\\
\noindent\mbox{}\hrulefill

{\em Obtener} las matrices de transformaci�n para los versores de
un triedro $Oxyz$ debidas a: a) rotaci�n $\alpha$ alrededor de $Oz$;
b) rotaci�n $\beta$ alrededor de $Ox$.
�Qu� caracter�stica principal tienen estas matrices?
Si se realizan sucesivamente estas dos rotaciones, {\em discutir} 
si el resultado depende o no del orden en que se efect�an.
(4.0 ptos.)

\vbox to 150mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{2ex}

\noindent
\begin{minipage}{120mm} 
a) Proyectando, se obtienen las relaciones entre los versores:
\begin{eqnarray*}
  \bm{i}' &=& \cos\alpha\,\bm{i}+\sen\alpha\,\bm{j} \\
  \bm{j}' &=& -\sen\alpha\,\bm{i}+\cos\alpha\,\bm{j} \\
  \bm{k}' &=& \bm{k}
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\hfil
\parbox{40mm}{
\input{679exam.pi1}
}\\
por lo que la matriz de transformaci�n es
\[
  \left\{\begin{array}{c}
  \bm{i}' \\ \bm{j}' \\ \bm{k}'
  \end{array}\right\}
  =
  \underbrace{
  \left(\begin{array}{ccc}
  \cos\alpha & \sen\alpha & 0 \\
  -\sen\alpha & \cos\alpha & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{array}\right)
  }_{\pmb{\sf R}_z(\alpha)}
  \left\{\begin{array}{c}
  \bm{i} \\ \bm{j} \\ \bm{k}
  \end{array}\right\}
\]

\noindent
\begin{minipage}{120mm} 
b) En este caso la transformaci�n resulta:
\[
  \left\{\begin{array}{c}
  \bm{i}'' \\ \bm{j}'' \\ \bm{k}''
  \end{array}\right\}
  =
  \underbrace{
  \left(\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & \cos\beta & \sen\beta \\
  0 & -\sen\beta & \cos\beta
  \end{array}\right)
  }_{\pmb{\sf R}_x(\beta)}
  \left\{\begin{array}{c}
  \bm{i} \\ \bm{j} \\ \bm{k}
  \end{array}\right\}
\]
\end{minipage}
\hfil
\parbox{40mm}{
\input{679exam.pi2}
}

Tanto $\pmb{\sf R}_z$ como $\pmb{\sf R}_x$ son matrices ortogonales,
al corresponder a rotaciones r�gidas que mantienen las distancias:
\[ 
   \pmb{\sf R}_z^{-1} = \pmb{\sf R}_z^{\rm T}
   ;\quad
   \pmb{\sf R}_x^{-1} = \pmb{\sf R}_x^{\rm T}.
\]
Dos rotaciones sucesivas equivalen al producto de las matrices de 
transformaci�n, operaci�n que {\em no es conmutativa} como se
puede comprobar f�cilmente. El producto vuelve a ser una matriz
ortogonal de rotaci�n.
\mbox{}
\vfil}
}

% \noindent\mbox{}\hrulefill

\newpage

\mbox{}\vspace*{-20mm}

Partiendo de la ecuaci�n diferencial del equilibrio de un hilo flexible,
siendo este homog�neo y sometido �nicamente a su propio peso, {\em deducir} 
el valor de la tensi�n en un punto cualquiera del mismo de ordenada $z$.
(3.0 ptos.)

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{2ex}

En un hilo sometido a su peso propio (carga $-q\bm{k}$ por unidad de
longitud), siendo $\bm{T}$ la tensi�n y $s$ el arco,
\[ d\bm{T}-q\bm{k}\, ds= {\bf 0}; \]
multiplicando escalarmente por el versor tangente $\bm{t}=d\bm{s}/ds$,
\[ dT - q\,dz=0, \]
e integrando
\[ T-T_0 = qz. \]
Siendo $T_0$ el valor de $T$ para $z=0$. Es posible elegir el origen de
$z$ de forma que sea $T_0=0$, por lo que en este caso ser�
\[ \mathbox{T=qz} \]

\mbox{}
\vfil}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

\noindent\parbox{125mm}{
\indent 
Dos esferas de masas $m/3$ y $m$ chocan el�sticamente, con velocidades
$+v$ y $-v$ respectivamente seg�n la recta de los centros. {\em Obtener}
la velocidad de la esfera peque�a despu�s del choque y discutir
la variaci�n o no de su energ�a cin�tica.
(3.0 ptos.)}
\hfill
\parbox{38mm}{
\input{679exam.pic}
}

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{2ex}

Sean $(v_1, v_2)$ las velocidades adquiridas por $m/3$ y $m$ respectivamente,
tomadas positivas hacia la derecha.
Escribimos las relaciones de conservaci�n de cantidad de movimiento y
del coeficiente de restituci�n $(e=1)$:
\begin{eqnarray}
  \frac{m}{3} v - mv &=& \frac{m}{3}v_1+mv_2,  \label{eq:imp1} \\
  2v &=& -v_1+v_2 \label{eq:imp2};
\end{eqnarray}
solucionando estas dos ecuaciones resulta
\[ v_1=-2v ;\quad v_2=0. \]
Es decir, la esfera peque�a rebota con el doble de velocidad que inicialmente,
mientras la grande se queda parada. La energ�a de la esfera peque�a se
multiplica por $4$ respecto a la inicial, puesto que ``roba'' energ�a
a la esfera grande; sin embargo, al ser el impacto el�stico,
la energ�a conjunta de las dos se conserva, 
siendo su valor $\frac{2}{3}mv^2$.

\mbox{}
\vfil}
}
\end{document}

\newpage
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\centerline{\large\bf BORRADOR}
\end{document}
