Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 2\underline{o} Tiempo: 45 min.

Responder a las siguientes cuestiones teóricas dentro del espacio provisto en la hoja para cada una. Las respuestas habrán de ser breves y directas, escritas con letra clara y a tinta. Donde se pida deducir o demostrar un resultado, deberán justificarse debidamente todos los pasos, mientras que si se pide discutir debe realizarse una discusión razonada. Se repartirá una hoja adicional para borrador, que no se recogerá, no permitiéndose tener sobre la mesa ninguna otra hoja, ni calculadoras ni libros de ningún tipo.

Obtener las matrices de transformación para los versores de un triedro Oxyz debidas a:

a) rotación α alrededor de Oz; b) rotación β alrededor de Ox. ¿Qué característica principal tienen estas matrices? Si se realizan sucesivamente estas dos rotaciones, discutir si el resultado depende o no del orden en que se efectúan. (4.0 ptos.)

•

a) Proyectando, se obtienen las relaciones entre los versores:

i′ = cos α i + sen α j
j′ = − sen α i + cos α j
k′ = k
[figure: x; α; x′; y; y′; z; i; i′; j; j′; k]

por lo que la matriz de transformación es

\{ \begin{matrix}i & ′ \\ j & ′ \\ k & ′ \end{matrix} \} = \underbrace{( \begin{matrix}cos α & sen α & 0 \\ − sen α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )}_{R R R R R R R R R R R R R R_{z}(α)} \{ \begin{matrix}i \\ j \\ k \end{matrix} \}

b) En este caso la transformación resulta:

\{ \begin{matrix}i & ′′ \\ j & ′′ \\ k & ′′ \end{matrix} \} = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos β & sen β \\ 0 & − sen β & cos β \end{matrix} )}_{R R R R R R R R R R R R R R_{x}(β)} \{ \begin{matrix}i \\ j \\ k \end{matrix} \}

[figure: x; y; z; i; j; k; y′′; z′′; k′′; j′′; β]

Tanto R R R R R R R R R R R R R R_{z} como R R R R R R R R R R R R R R_{x} son matrices ortogonales, al corresponder a rotaciones rígidas que mantienen las distancias:

R R R R R R R R R R R R R R_{z}^{−1} = R R R R R R R R R R R R R R_{z}^{T}; R R R R R R R R R R R R R R_{x}^{−1} = R R R R R R R R R R R R R R_{x}^{T}.

Dos rotaciones sucesivas equivalen al producto de las matrices de transformación, operación que no es conmutativa como se puede comprobar fácilmente. El producto vuelve a ser una matriz ortogonal de rotación.

Partiendo de la ecuación diferencial del equilibrio de un hilo flexible, siendo este homogéneo y sometido únicamente a su propio peso, deducir el valor de la tensión en un punto cualquiera del mismo de ordenada z. (3.0 ptos.)

•

En un hilo sometido a su peso propio (carga −qk por unidad de longitud), siendo T la tensión y s el arco,

dT − qk ds = 0;

multiplicando escalarmente por el versor tangente t = ds/ds,

dT − q dz = 0,

e integrando

T − T_{0} = qz.

Siendo T_{0} el valor de T para z = 0. Es posible elegir el origen de z de forma que sea T_{0} = 0, por lo que en este caso será

T = qz

Dos esferas de masas m/3 y m chocan elásticamente, con velocidades +v y −v respectivamente según la recta de los centros. Obtener la velocidad de la esfera pequeña después del choque y discutir la variación o no de su energía cinética. (3.0 ptos.)

[figure: v; v; \frac{m}{3}; m]
•

Sean (v_{1}, v_{2}) las velocidades adquiridas por m/3 y m respectivamente, tomadas positivas hacia la derecha. Escribimos las relaciones de conservación de cantidad de movimiento y del coeficiente de restitución (e = 1):

\frac{m}{3}v − mv = \frac{m}{3}v_{1} + mv_{2},  (1)
2v = −v_{1} + v_{2};  (2)

solucionando estas dos ecuaciones resulta

v_{1} = −2v; v_{2} = 0.

Es decir, la esfera pequeña rebota con el doble de velocidad que inicialmente, mientras la grande se queda parada. La energía de la esfera pequeña se multiplica por 4 respecto a la inicial, puesto que “roba” energía a la esfera grande; sin embargo, al ser el impacto elástico, la energía conjunta de las dos se conserva, siendo su valor \frac{2}{3}mv^{2}.