\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\it Ejercicio 1\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}
% (texto del problema aqu�)

{\footnotesize
Responder a las siguientes cuestiones te�ricas {\em dentro del 
espacio provisto en la hoja} para cada una. Las respuestas habr�n de ser
breves y directas, escritas con letra clara y {\em a tinta}.
Donde se pida {\em deducir} o {\em demostrar} un resultado, 
deber�n justificarse debidamente todos los pasos, 
mientras que si se pide {\em discutir} debe realizarse una discusi�n
razonada.
Se repartir� una hoja adicional para borrador, que no se recoger�, 
no permiti�ndose tener sobre la mesa {\em ninguna otra hoja}, 
ni calculadoras ni libros de ning�n tipo.
}
\\
\noindent\mbox{}\hrulefill

{\em Definici�n} de fuerza central. Si una part�cula se mueve bajo
una fuerza central, �qu� magnitud cin�tica se conserva? Como
consecuencia inmediata, deducir dos caracter�sticas importantes
del movimiento.
(2.5 ptos.)

\vbox to 65mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{1ex}

Es aqu�lla cuya recta de acci�n pasa en todo instante por un punto dado $O$;
Si est� aplicada a una part�cula de masa $m$ sita en $P$, 
llamando $\bm{r}\eqdef\bm{OP}$, debe poder expresarse como 
$\bm{F}=F\displaystyle\frac{\bm{r}}{r}$. Expresando el momento cin�tico y derivando:
\[
  \bm{H}_O=\bm{r}\wedge m\dot\bm{r};\quad
  \frac{d}{dt}\bm{H}_O=\bm{r}\wedge m\ddot\bm{r}
   =\bm{r}\wedge \bm{F}={\bf 0}
   \quad\Rightarrow\quad
   \bm{H}_O=\vec{\mbox{cte.}}
\]
% de donde se deduce:
\begin{enumerate}
  \item al ser {\em constante de la direcci�n} de $\bm{H}_O$, $\dot\bm{r}$
        pertenece a un plano fijo, normal a esta direcci�n, por lo que el
        movimiento es plano;
  \item al ser {\em constante el m�dulo} $H_O$, la velocidad areolar 
        $dS/dt$ es constante; en efecto,
        \[ 
          \frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}|\bm{r}\wedge\dot\bm{r}|
          =\frac{1}{2m}H_O
        \]
\end{enumerate}
\mbox{}
\vfil}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

Si midi�semos con exactitud la ca�da de un grave 
partiendo del reposo respecto de la tierra, �qu� desviaciones
encontrar�amos respecto de la ca�da vertical? �a qu� son debidas?
(2.5 ptos.)

\vbox to 80mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{1ex}

Debido a la rotaci�n de la tierra ($\Omega$, en direcci�n $S-N$)
un sistema de referencia ligado a la superficie de la tierra no es
inercial, por lo que deben considerarse fuerzas de inercia que
producen las alteraciones siguientes:
\begin{enumerate}
  \item La plomada o direcci�n aparente de la gravedad queda desviada
        respecto de la vertical geom�trica (radial), por efecto de la
        fuerza de arrastre centr�fuga; el valor de �sta es, siendo
        $R$ el radio de la tierra, en un punto de latitud $\lambda$, 
        $F_{\rm arr}=m\Omega^2 R\cos\lambda$, dirigida desde el eje $N-S$
        de rotaci�n. El efecto sobre la gravedad en el ecuador es m�ximo 
        en m�dulo aunque m�nimo en direcci�n.
  \item Desviaci�n de la ca�da por el efecto de la fuerza
        de inercia de Coriolis sobre el cuerpo en movimiento relativo.
        Esta fuerza tiene la expresi�n
        $\bm{F}_{\rm cor}=-2m\bm{\Omega}\wedge\bm{v}_{\rm rel}$, por lo que
        si $\bm{v}_{\rm rel}$ es vertical descendente la desviaci�n es
        hacia el Este.
\end{enumerate}
\mbox{}
\vfil}
}

\newpage

\mbox{}\vspace*{-20mm}

{\em Expresi�n} del teorema de K\"onig (energ�a cin�tica de un sistema
como funci�n del movimiento del C.D.M. y el relativo). {\em Aplicar}
al siguiente caso: 2 masas puntuales iguales $(m)$ sobre una recta
fija, cuyo punto medio es $x_G$ y su distancia $d$.
(2.5 ptos.)

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{1ex}

Sea un sistema formado por un conjunto de masas puntuales 
$\{ m_i, i=1\ldots N\}$, $M=\sum_{i=1}^{N} m_i$ su masa total, y $v_G$ 
la velocidad de su centro de masas $G$. La energ�a cin�tica se puede
expresar como suma de la que tendr�a una part�cula de masa $M$
m�vil con $G$ y la del movimiento relativo a $G$:
\[
  T=\frac{1}{2}M v_G^2+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} m_i \nu_i^2,
\]
donde $\nu_i$ son las velocidades relativas a $G$.

{\em Aplicaci�n:}
\[
  T=\frac{1}{2}(2m)\dot x_G^2+\frac{1}{2}
    \left[m\left(\frac{\dot d}{2}\right)^2
         +m\left(\frac{\dot d}{2}\right)^2\right]
    =m\dot x_G^2+\frac{1}{4}m\dot d^2,
\]
que como comprobaci�n vemos que coincide con el c�lculo directo de $T$,
\[
  T=\frac{1}{2}m\left(\dot x_G+\frac{\dot d}{2}\right)^2
    +\frac{1}{2}m\left(\dot x_G-\frac{\dot d}{2}\right)^2
\]
\mbox{}
\vfil}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

�Cu�l es el lugar geom�trico de los puntos de un s�lido que en un cierto
instante tienen velocidad m�nima?
�C�mo evoluciona este lugar, descrito seg�n una referencia ligada 
al s�lido, a lo largo del movimiento?
(2.5 ptos.)

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{1ex}

El campo de velocidades del s�lido, en funci�n de la velocidad de un punto
arbitrario $O$ tomado como origen y de la velocidad de rotaci�n $\bm{\Omega}$
es $\bm{v}=\bm{v}_O+\bm{\Omega}\wedge\bm{r}$. Se observa inmediatamente
que el t�rmino $\bm{\Omega}\wedge\bm{r}$ es normal a $\bm{\Omega}$,
por lo que la velocidad m�nima corresponder� a los puntos en que
�sta sea paralela a $\bm{\Omega}$. Este lugar geom�trico define una
recta denominada {\em eje instant�neo del movimiento helicoidal tangente}.

Es inmediato comprobar que la velocidad de todos los puntos del eje
es igual (velocidad m�nima). Si �sta es nula, el movimiento corresponde 
a una rotaci�n
alrededor del eje; en caso contrario, el movimiento tiene adem�s
una componente de traslaci�n o deslizamiento en direcci�n del eje,
como un sacacorchos.

A lo largo del tiempo, el eje ocupa distintas posiciones en el espacio.
En una referencia ligada al s�lido, describe una superficie reglada
denominada {\em axoide m�vil}. A su vez, si se observa desde una referencia
fija, describir�a otra superficie denominada {\em axoide fijo}.
El axoide m�vil evoluciona a lo largo del tiempo movi�ndose con el
s�lido (como es l�gico) manteni�ndose tangente al axoide fijo a trav�s
de todos los puntos de la generatriz de contacto (eje del movimiento com�n a ambos),
con un movimiento de rodadura y deslizamiento seg�n dicho eje.
\mbox{}
\vfil}
}
% \end{document}

\newpage
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\centerline{\large\bf BORRADOR}
\end{document}
