\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 6\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{100mm}{
Una barra homog�nea de longitud $AB=2l$ y masa $m$ se mueve con su extremo
$A$ obligado a deslizar sin rozamiento sobre un eje vertical $Oz$.
Inicialmente la barra forma un �ngulo $\theta=60^{\circ}$ con la vertical
y se deja caer sin velocidad desde una altura $z_A=2l$, chocando
mediante el extremo $B$ con el plano horizontal fijo $Oxy$, de
forma perfectamente el�stica.

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item Movimiento instant�neo de la barra despu�s del choque;
  \item Impulsi�n reactiva producida en $A$.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil\input{677exam.pic}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{5mm}

La ca�da de la barra se desarrolla desde $z_A^1=2l$ hasta 
$z_A^2=2l\cos 60^\circ=l$, es decir, cae una altura $l$. Puesto
que parte del reposo cae paralelamente a s� misma, desarrollando
una velocidad de traslaci�n $v_0=\sqrt{2gl}$.\\[1ex]
\noindent
\begin{minipage}{55mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
El movimiento antes y despu�s del choque se desarrolla dentro de un 
mismo plano vertical, dentro del que tomaremos el eje de abscisas
$x$. En el punto $B$ se produce una percusi�n vertical $P_B$, mientras
que en $A$ aparece una percusi�n reactiva $P_A$.
\end{minipage}
\hfill
\parbox{115mm}{
\input{677exam.pi1}
}\\[1ex]
\noindent
\paragraph{1.-}
Caracterizamos el movimiento despu�s del choque por las variables $\omega$,
velocidad de rotaci�n de la barra, y $v_A$, velocidad del punto $A$.
Establecemos en primer lugar las ecuaciones de balance de cantidad de
movimiento:
\begin{equation}
  P_A=m\omega\frac{l}{2};
  \label{eq:cmx}
\end{equation}
\begin{equation}
  -m v_0+P_B=m\left(v_A+\omega l\frac{\sqrt{3}}{2} \right).
  \label{eq:cmy}
\end{equation}
Por otra parte, el balance del momento cin�tico en $G$ expresa
\begin{equation}
  P_B l\frac{\sqrt{3}}{2}-P_A l\frac{1}{2}=\frac{1}{12}m(2l)^2\omega.  
  \label{eq:mcy}
\end{equation}
Por �ltimo, la ecuaci�n del coeficiente de restituci�n $(e=1)$ es
\begin{equation}
  v_0=v_A+\omega l\sqrt{3}.
  \label{eq:rest}
\end{equation}

Las 4 ecuaciones anteriores quedan planteadas en funci�n de las inc�gnitas
$(\omega,v_A,P_A,P_B)$. Resolviendo resulta:
\[
  \mathbox{
  \omega=\frac{3\sqrt{3}}{4}\frac{v_0}{l};\quad
  v_A=-\frac{5}{4}v_0
  }
\]

\paragraph{2.-}
Sustituyendo los valores de $\omega$ y $v_A$ en las ecuaciones 
(\ref{eq:cmx}) y (\ref{eq:cmy}) resulta
\[
  \mathbox{
  P_A=\frac{3\sqrt{3}}{8}mv_0;\quad
  P_B=\frac{7}{8}mv_0
  }
\]

\end{document}
