\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 5\�} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{100mm}{
Un cono de v�rtice $A$, base circular $BC$ de radio $DB=2a/\sqrt{3}$
y altura $DA=a$ se mueve en el espacio de forma que la circunferencia
del borde de la base del cono rueda sin deslizar sobre una circunferencia
fija de radio $OB=2a$ con centro $O$. Este punto $O$ es a su vez el centro 
de una esfera de radio $a$ en la que se apoya y desliza la base del cono.

El movimiento del cono es tal que su v�rtice $A$ describe otra
circunferencia de centro $O'$ y radio $(3/2)a$ (en un plano paralelo
a la de centro $O$), con movimiento uniforme de periodo $\tau$,
de forma que que el eje $DA$ del cono se mantiene en todo momento
dentro del plano vertical por $OB$.
}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil\input{676exam.pic}
}

Del movimiento as� definido se pide:
\begin{enumerate}
  \item velocidad del punto $C$ del cono (diametralmente opuesto a $B$)
        y aceleraci�n del v�rtice $A$ del mismo;
  \item velocidad y aceleraci�n angular del cono;
  \item Axoides del movimiento.
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{5mm}

\noindent
\begin{minipage}{100mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
La velocidad del punto $B$ del cono es nula, puesto que rueda sin deslizar,
por lo que sabemos que el movimiento del cono es una rotaci�n. 
Por otra parte, podemos observar que el eje $DA$ del cono gira alrededor del
eje $OO'$ describiendo a su vez otro cono, de v�rtice $E$, intersecci�n
de ambos ejes. Este punto es tambi�n de velocidad nula, por lo que 
el eje instant�neo de rotaci�n es $BE$.

Sea $F$ el contacto entre cono y esfera. En el tri�ngulo rect�ngulo
$OFB$ observamos que 
$\sen(\widehat{OBF})=a/2a$, luego $\widehat{OBF}=30^\circ$. 
De aqu� se puede deducir que el punto $C$ est� situado precisamente sobre 
el eje $OO'$.
Por otra parte, $\widehat{DEC}=30^\circ$, por lo que 
$EC=4a/\sqrt{3}$, resultando que $E$ es sim�trico de $C$
respecto de $O$ y el eje $BE$ es tambi�n tangente a la esfera.
\end{minipage}
\parbox{65mm}{
\hfil\input{676exam.pi1}
}

\paragraph{1.-}
Tomaremos un triedro a derechas con los versores $\bm{i}$ seg�n $OB$,
$\bm{j}$ seg�n $OO'$ y $\bm{k}$ perpendicular al papel hacia fuera.

El movimiento queda definido por la velocidad de rotaci�n $\bm{\Omega}$
dirigida seg�n $BE$,
que puede suponerse descompuesta en la suma del giro $\omega_1\bm{j}$
del plano de la figura
alrededor de $OO'$ y de $\omega_2\bm{u}$ alrededor del eje del cono $AD$,
siendo $\bm{u}$ el versor seg�n esta direcci�n. El dato del 
periodo indica que $\omega_1=2\pi/\tau$. El valor de
$\omega_2$ se deduce al imponer la condici�n de rodadura en $B$:
\[
  {\bf 0}=\bm{v}_B=\omega_1\bm{j}\wedge\bm{OB}+\omega_2\bm{u}\wedge\bm{DB}
  =-2a\omega_1\bm{k}+\frac{2a}{\sqrt{3}}\omega_2\bm{k}
\]
por lo que $\omega_2=\sqrt{3}\omega_1=2\sqrt{3}\pi/\tau$.

La velocidad del punto del cono $C$ se calcula como
\begin{equation}
  \bm{v}_C=\bm{\Omega}\wedge\bm{EC}=\omega_2\bm{u}\wedge\bm{DC}
  \quad\Rightarrow\quad
  \mathbox{\bm{v}_C=-2a\omega_1\bm{k}=-\frac{4a\pi}{\tau}\bm{k}}
  \label{eq:vC}
\end{equation}
donde el signo $(-)$ indica que va dirigida hacia dentro del papel.

{\small
\declaracion{Observaci�n:}
El hecho de que el punto geom�trico diametralmente opuesto al
de rodadura $B$ est� siempre en el mismo punto del eje $OO'$ 
no quiere decir que la velocidad del punto del cono $C$ sea nula: 
�sta �ltima no debe confundirse con la velocidad del punto geom�trico 
o velocidad de sucesi�n (que es nula).
}

La aceleraci�n de $A$ se halla trivialmente al observar que su movimiento
es circular alrededor de $O'$:
\begin{equation}
  \mathbox{\bm{a}_A=-\omega_1^2\frac{3a}{2}\bm{i} 
  =-\frac{6a\pi^2}{\tau^2}\bm{i} 
  }
  \label{eq:aA}
\end{equation}

\paragraph{2.-}
La expresi�n de la velocidad angular es
\[
  \bm{\Omega}=\omega_1\bm{j}+\omega_1\sqrt{3}\bm{u}
\]
y teniendo en cuenta que $\bm{u}=-(1/2)\bm{i}-(\sqrt{3}/{2})\bm{j}$,
\begin{equation}
  \mathbox{\bm{\Omega}=\frac{2\pi}{\tau}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\bm{i}
  -\frac{1}{2}\bm{j}\right) }
  \label{eq:Omega}
\end{equation}
El m�dulo vale $\Omega=\omega_1=2\pi/\tau$, y
comprobamos que forma $30^\circ$ con $BO$, estando dirigida
seg�n $BE$.

La aceleraci�n angular se obtiene considerando que el triedro descrito
gira con velocidad $\omega_1\bm{j}$:
\begin{equation}
  \dot\bm{\Omega}=\omega_1\bm{j}\wedge\bm{\Omega}=
                  \omega_1^2\frac{\sqrt{3}}{2}\bm{k}
  \quad\Rightarrow\quad
  \mathbox{\dot\bm{\Omega}=\frac{2\sqrt{3}\pi^2}{\tau^2}\bm{k} }
  \label{eq:alpha}
\end{equation}

\paragraph{3.-}

Los axoides son sendos conos que comparten en todo momento la generatriz
com�n $EB$. El axoide fijo es el cono de eje $EO$ y semi�ngulo $30^\circ$,
mientras que el m�vil tiene por eje $EA$ y semi�ngulo $30^\circ$, rodando
sin deslizar sobre el fijo por dentro de �l.


\end{document}
