\documentstyle[12pt,bezier,epsf]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 4\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{100mm}{
Un caj�n rectangular $ABCD$, de ancho $AB=b$ y profundidad $AD=a$,
est� insertado entre dos paneles paralelos que distan entre s� $d>b$.
Al extraer el caj�n mediante un esfuerzo $T$ paralelo a los paneles
sobre la manilla $M$ (sita en el punto medio de $AB$), inevitablemente
se ladea, deslizando sobre los paneles laterales mediante dos
esquinas diagonalmente opuestas $(D,B)$ o $(A,C)$.

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item M�ximo valor del coeficiente de rozamiento $\mu_{\rm max}$
        entre caj�n y paneles para que aqu�l no quede bloqueado,
        expresado en funci�n de $(a,b,d)$.
  \item Igual cuesti�n para el caso l�mite en que el huelgo del
        caj�n $\epsilon=d-b$ es despreciable frente a las otras
        dimensiones ($\epsilon \ll b,\, \epsilon \ll a)$, expresado
        en funci�n de $(a,b)$.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{65mm}{
\hfil\input{675exam.pic}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{2ex}

\noindent
\begin{minipage}{110mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
Una vez que se ladea el caj�n, adquiere la configuraci�n de la figura,
en contacto mediante las esquinas $D$ y $B$ con los paneles. La recta
de acci�n de la fuerza $T$ es la recta $MG$, con lo que para el equilibrio
las reacciones $R'_D$ y $R'_B$ en las esquinas deben cortar a esta
recta en un mismo punto $G$. Este debe estar situado a la izquierda
del punto $E$, puesto que las reacciones tangenciales $T_D$ y $T_B$
deben estar orientadas hacia la izquierda.

Por equilibrio en sentido normal a los paneles sabemos $N_D=N_B=N$.
Por otra parte, si el coeficiente de rozamiento es $\mu$,
\[
  T_D \le \mu N;\quad
  T_B \le \mu N.
\]
Debe precisarse que 
la fuerza de rozamiento que se moviliza en $D$ y $B$ es distinta
aunque el coeficiente de rozamiento sea igual en ambos paneles, 
ya que �ste indica tan s�lo el valor m�ximo que pueden tomar ambas.
El equilibrio se puede conseguir con $R'_D$ y $R'_B$ cort�ndose
en un punto cualquiera $G$ sobre el eje $MG$, con tal que est� situado 
a la izquierda de $E$. 
\end{minipage}
\hfill
\parbox{55mm}{
\hfill\input{675exam.pi1}
}
\vspace{1ex}

Queda claro que el �ngulo de rozamiento 
exigido en $B$ para el equilibrio ser� mayor que en $D$, y a su vez
ser� m�nimo cuando $G=E$. En este caso l�mite, el rozamiento vale
\begin{equation}
  \mu_{\rm max}=\frac{FE}{FB}
  \label{eq:mumax0}
\end{equation}
Asimismo, en este caso l�mite, las reacciones tangenciales valen
\[
  T_D=0;\quad
  T_B=\mu_{\rm max} N.
\]

de la geometr�a de la figura observamos que
\[
  FE=a\cos\alpha-b\sen\alpha;\quad
  FB=\frac{b}{2}\cos\alpha
\]
por lo que
\begin{equation}
  \mu_{\rm max}=\frac{a}{b/2}-2\tan\alpha
  \label{eq:mumax1}
\end{equation}
Para calcular $\tan\alpha$ en funci�n de $(a,b,d)$ observamos que
\[
  b\cos\alpha+a\sen\alpha=d
  \quad\Rightarrow\quad
  b+a\tan\alpha=d\sqrt{\tan^2\alpha+1}
\]
Eliminando la ra�z resulta una ecuaci�n cuadr�tica cuyas soluciones son:
\[
  \tan\alpha=\frac{2ab \pm \sqrt{4a^2b^2-4(d^2-b^2)(d^2-a^2)}}
                  {2(d^2-a^2)}
            =\frac{ab \pm d\sqrt{a^2+b^2-d^2}}
                  {d^2-a^2}
\]

\noindent
\begin{minipage}{90mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
La compatibilidad de esta expresi�n queda garantizada si $a^2+b^2>d^2$.
Por otra parte, de las dos soluciones debemos elegir el signo $-$ de
la ra�z, ya que al ladearse el caj�n es la configuraci�n que primero se produce,
al ser menor el �ngulo $\alpha$. esto queda ilustrado
en la figura adjunta (en la que se ha tomado $a=3$, $b=4$, $d=4.5$).
\end{minipage}
\hfill
\parbox{65mm}{
\epsfxsize=65mm
\hfill\epsffile[102 260 524 550]{675exam.eps}
}
\vspace{1ex}
  
Sustituyendo el valor de $\tan\alpha$ en (\ref{eq:mumax1}) se obtiene 
la expresi�n pedida:
\begin{equation}
  \mathbox{
  \mu_{\rm max}=\frac{2a}{b}-2\frac{ab - d\sqrt{a^2+b^2-d^2}}{d^2-a^2}
  }
  \label{eq:mumax2}
\end{equation}
                     
\noindent
\begin{minipage}{110mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
\paragraph{2.-}
En este caso l�mite $(d\approx b)$ se realiza el mismo razonamiento
que antes, pero la geometr�a se simplifica considerablemente.
Admitiendo que el contacto se establece 
entre los v�rtices $B$ y $D$, el coeficiente de rozamiento requerido
se deduce directamente de la figura:
\[
  \mathbox{\mu_{\rm max}=\frac{ME}{MB}=\frac{2a}{b}}
\]

Tambi�n se podr�a haber razonado a partir de la expresi�n general
(\ref{eq:mumax2}) del apartado anterior, tomando $d=b$,
con lo que se obtiene igual resultado al anularse el segundo t�rmino.
\end{minipage}
\hfill\parbox{55mm}{
\hfill\input{675exam.pi2}
}

\end{document}
