\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)\\*[4mm]
}

% \vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 3\�} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{90mm}{
Una placa semicircular homog�nea, de masa $m$ y radio $r$, puede girar 
libremente en su propio plano vertical $\Pi$ alrededor del centro $O$
de su borde diametral. A su vez el plano $\Pi$ (que no tiene masa) puede
girar libremente alrededor de un eje vertical que pasa por $O$.
Se abandona la placa en reposo respecto de $\Pi$, con su borde diametral
formando un �ngulo $\theta_0$ con la horizontal, mientras que $\Pi$
tiene una velocidad angular $\dot\psi(0)=\omega_0$.

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item  Expresi�n, en un instante gen�rico, del momento cin�tico
        respecto de $O$ y de la energ�a cin�tica.
  \item Ecuaciones diferenciales del movimiento de la placa.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{75mm}{
\hfil\input{674exam.pic}
}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
  \item describir el movimiento resultante, en concreto:
        \begin{enumerate}
          \item ley $\dot\psi(t)$ de la velocidad angular del plano;
          \item demostrar que el movimiento $\theta(t)$ es pendular,
                obteniendo la longitud del p�ndulo simple equivalente.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill\par
\vspace{5mm}

\noindent
\begin{minipage}{105mm}
\setlength{\parindent}{1.5em}
Comenzamos calculando las magnitudes de geometr�a de masas precisas.
Consideramos el triedro $Oxyz$ m�vil con el disco,
con los versores $(\bm{i},\bm{j})$
indicados en la figura y $\bm{k}$ perpendicular al papel.
El Centro de Masas $G$ est� situado en 
\[\bm{OG}=-\frac{4r}{3\pi}\bm{j}.\] 

Por simetr�a, se deduce que los ejes $Oxyz$ son principales de inercia, 
teniendo los momentos de inercia una expresi�n similar a 
los del disco completo:
\begin{equation}
  I_x=\frac{1}{4}mr^2;\quad
  I_y=\frac{1}{4}mr^2;\quad
  I_z=\frac{1}{2}mr^2.
  \label{eq:I}
\end{equation}

El sistema tiene 2 grados de libertad, $\psi$ y $\theta$.
En funci�n de ellos la velocidad angular del disco es
\begin{equation}
  \bm{\Omega}=\dot\theta\bm{k}+\dot\psi
              (\sen\theta\,\bm{i}+\cos\theta\,\bm{j}).
  \label{eq:Omega}
\end{equation}
\end{minipage}
\parbox{60mm}{
\hfill\input{674exam.pi1}
}

\paragraph{1.-}
El momento cin�tico se halla directamente a partir de (\ref{eq:I}) 
y (\ref{eq:Omega}):
\begin{equation}
  \bm{H}_O=\bm{I}_O\cdot\bm{\Omega}
          =\frac{1}{4}mr^2\dot\psi
           (\sen\theta\,\bm{i}+\cos\theta\,\bm{j})
           +\frac{1}{2}mr^2\dot\theta\,\bm{k}
  \label{eq:HO}
\end{equation}
La energ�a cin�tica se calcula inmediatamente,
\begin{equation}
  T=\frac{1}{2}\bm{H}_O\cdot\bm{\Omega}
   =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}mr^2\dot\psi^2+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta^2
    \right)
  \label{eq:T}
\end{equation}

\paragraph{2.-}
La funci�n Lagrangiana vale
\begin{equation}
  L=T-V
   =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}mr^2\dot\psi^2+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta^2
    \right)+\frac{4r}{3\pi}mg\cos\theta
  \label{eq:L}
\end{equation}
de donde se deducen inmediatamente, derivando, las dos ecuaciones
de Lagrange siguientes:
\begin{equation}
  \frac{\partial L}{\partial\dot\psi}=\frac{1}{4}mr^2\dot\psi=\mbox{cte.}
  \label{eq:psi}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{1}{2}mr^2\ddot\theta+\frac{4r}{3\pi}mg\sen\theta=0
  \label{eq:theta}
\end{equation}

\paragraph{3.-}
Como se deduce de las dos ecuaciones anteriores, el movimiento queda
desacolpado en sus dos grados de libertad. El giro alrededor de la
vertical del plano $\Pi$ es una coordenada c�clica (\ref{eq:psi}), 
y adem�s constante, $\dot\psi(t)=\omega_0$.

En cuanto al movimiento $\theta(t)$, definido por (\ref{eq:theta}),
se ve inmediatamente que es un movimiento pendular, por
analog�a a la ecuaci�n de un p�ndulo simple,
\[
  l \ddot\theta+g \sen\theta=0,
\]
siendo la longitud equivalente
\[
  l_{\rm eq}=\frac{(1/2)mr^2}{(4r/3\pi)m}=\frac{3}{8}\pi r
\]

\end{document}
