\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{2$^{\underline{\rm o}}$ EXAMEN PARCIAL (10 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 4\�} \underline{(10 ptos.)} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
Un cono de peso $P$, semi�ngulo c�nico $45^\circ$ y altura $h$
est� apoyado por su base sobre un plano horizontal rugoso. 
El v�rtice est� sujeto a un cable flexible $AB$ de longitud $2h$ 
y peso total $P$, a trav�s del cual se tira del cono 
desde el extremo $B$, situado a una altura fija $h$ sobre el v�rtice, 
intentando desplazarlo horizontalmente.

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item M�ximo valor del coeficiente de rozamiento para que el cono no
        llegue a volcar
  \item Suponiendo que el rozamiento es la mitad del calculado en el
        apartado anterior, valor del esfuerzo horizontal $H$ que debe
        ejercerse desde $B$ para que el cono comience a moverse;
        calcular asimismo en esta situaci�n la tensi�n m�xima que
        soporta el cable.
\end{enumerate}
\centerline{\input{667exam.pic}}

\noindent\mbox{}\hrulefill

\noindent\parbox{95mm}{
\paragraph{1.-}

El cable ejerce sobre el v�rtice del cono unos esfuerzos $H$ (horizontal)
y $V$ (vertical). La reacci�n normal del plano es pues $N=P-V$, mientras
que la horizontal es $H$. Al tirar del cable y aumentar $H$ paulatinamente, 
el equilibrio se puede romper de una de las dos maneras siguientes:}
\hfill
\parbox{55mm}{\input{667exam.pi1}}
\begin{enumerate}
  \item {\em por vuelco;} expresando el equilibrio de momentos
        en el centro de la base $(M)$, 
        para que el cono no vuelque el momento activo
        producido por $H$ debe ser equilibrado por el momento pasivo
        debido a la reacci�n $N$, que puede desplazarse hacia la derecha
        hasta situarse como m�ximo en el v�rtice $C$:
        \[H h \le N h\]
        En el l�mite de vuelco es por tanto $H=N$.
  \item {\em por deslizamiento;} en general se verifica
        \[H\le \mu N;\]
        si el cono desliza, se verifica $H=\mu N$.
\end{enumerate}
El m�ximo valor que puede tomar $\mu$ para que el cono no vuelque 
corresponde por tanto al valor de $H=\mu N$, en el l�mite de vuelco:
\[\mu N=N;
  \quad\Rightarrow\quad
  \mu_{\rm max}=1
\]
Si $\mu<\mu_{\rm max}$ el equilibrio se rompe por deslizamiento, mientras
que si $\mu>\mu_{\rm max}$ se rompe por vuelco.

\paragraph{2.-}
El cable forma una catenaria, de la cual podemos expresar inmediatamente
dos ecuaciones. En primer lugar, la diferencia de cotas entre $A$ y $B$:
\begin{equation}
  \underbrace{a\cosh\frac{x_B}{a}}_{z_B}
  -\underbrace{a\cosh\frac{x_A}{a}}_{z_A}=h;
  \label{eq:1}
\end{equation}
por otra parte, la longitud del hilo entre $A$ y $B$:
\begin{equation}
  \underbrace{a\senh\frac{x_B}{a}}_{s_B}
  -\underbrace{a\senh\frac{x_A}{a}}_{s_A}=2h;
  \label{eq:2}
\end{equation}
donde se emplea la notaci�n $(s_A,\,s_B)$ para indicar el arco de catenaria
medido desde el v�rtice de la misma hasta los puntos $A$ y $B$
respectivamente.

Las inc�gnitas del problema son $(a,\,x_A,\,x_B)$. La ecuaci�n que falta se obtiene
expresando la condici�n de deslizamiento en el cono, teniendo en cuenta
que $V=qa\senh(x_A/a)$ y $H=\mu(P-V)$:
\begin{equation}
  qa=\mu\left( P-q a\senh\frac{x_A}{a} \right)=\mu(P-qs_A)
  \label{eq:3}
\end{equation}

Considerando que $\cosh^2(x_A/a)=1+\senh^2(x_A/a)$ (o equivalentemente,
$z_A^2=a^2+s_A^2$), y sustituyendo los datos del enunciado
$(P=2hq,\,\mu=1/2)$,
las ecuaciones (\ref{eq:1}) y (\ref{eq:2}) se convierten en
\begin{eqnarray}
a\cosh\frac{x_B}{a}-\sqrt{a^2+(2h-2a)^2} &=& h; \label{eq:1a}\\
a\senh\frac{x_B}{a}-(2h-2a)              &=& 2h; \label{eq:2a}
\end{eqnarray}
y combinando a su vez los cuadrados de las funciones hiperb�licas 
en estas dos ecuaciones se obtiene
\[
  a^2=\left[h+\sqrt{a^2+(2h-2a)^2}\right]^2-
      \left[2h+(2h-2a)\right]^2
\]
Desarrollando esta expresi�n y eliminando la ra�z cuadrada se obtiene
finalmente la siguiente ecuaci�n cuadr�tica en funci�n de $a$:
\begin{equation}
  44a^2-144ha+105h^2=0
  \label{eq:4}
\end{equation}
que admite en principio dos soluciones,
\begin{equation}
  a=\frac{36h \pm \sqrt{141}h}{22}=
    \left\{\begin{array}{l}
    2.1761 h \\
    1.0966 h
    \end{array}\right.
    \label{eq:5}
\end{equation}
Analicemos ahora la admisibilidad de las soluciones obtenidas.
Sustituyendo la soluci�n (\ref{eq:5}$_1$) en (\ref{eq:3}) se deduce
\[
  s_A=2h-2a=2h(1-2.1761);\quad V=q s_A=(1-2.1761) P
\]
y por tanto
\[
  \begin{array}{ll}
  \displaystyle
  \frac{x_A}{a}=\argsenh\frac{s_A}{a}=-0.9375;\quad&
  \displaystyle
  z_A=a\cosh\frac{x_A}{a}=3.2044 h \\
  \displaystyle
  \frac{x_B}{a}=\argsenh\frac{s_A+2h}{a}=-0.1612;\quad&
  \displaystyle
  z_B=a\cosh\frac{x_B}{a}=2.2044 h
  \end{array}
\]
Como vemos esta soluci�n no es v�lida, ya que resulta $z_B-z_A=-h$,
en contradicci�n con la ecuaci�n (\ref{eq:1}). (Esta soluci�n esp�rea
se ha introducido al elevar al cuadrado las ecuaciones para reducirlas).

Por el contrario, para la soluci�n (\ref{eq:5}$_2$), realizando las
mismas comprobaciones se deduce:
\[
  \begin{array}{ll}
  \displaystyle
  s_A=2h(1-1.0966);\quad&V=(1-1.0966) P \\
  \displaystyle
  \frac{x_A}{a}=\argsenh\frac{s_A}{a}=-0.1753;\quad&
  \displaystyle
  z_A=a\cosh\frac{x_A}{a}=1.1135 h \\
  \displaystyle
  \frac{x_B}{a}=\argsenh\frac{s_A+2h}{a}=1.2739;\quad&
  \displaystyle
  z_B=a\cosh\frac{x_B}{a}=2.1135 h
  \end{array}
\]
Por lo que esta soluci�n es v�lida, correspondiendo a una catenaria
con el v�rtice situado entre los puntos $A$ y $B$.

\end{document}
