Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

2\underline{o} EXAMEN PARCIAL (10 de Junio de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 4\underline{o} \underline{(10 ptos.)} Tiempo: 50 min.

Un cono de peso P, semiángulo cónico 45^{∘} y altura h está apoyado por su base sobre un plano horizontal rugoso. El vértice está sujeto a un cable flexible AB de longitud 2h y peso total P, a través del cual se tira del cono desde el extremo B, situado a una altura fija h sobre el vértice, intentando desplazarlo horizontalmente.

Se pide:

1. Máximo valor del coeficiente de rozamiento para que el cono no llegue a volcar

2. Suponiendo que el rozamiento es la mitad del calculado en el apartado anterior, valor del esfuerzo horizontal H que debe ejercerse desde B para que el cono comience a moverse; calcular asimismo en esta situación la tensión máxima que soporta el cable.

[figure: A; B; H; P; h; h]

1.- El cable ejerce sobre el vértice del cono unos esfuerzos H (horizontal) y V (vertical). La reacción normal del plano es pues N = P − V, mientras que la horizontal es H. Al tirar del cable y aumentar H paulatinamente, el equilibrio se puede romper de una de las dos maneras siguientes:

[figure: V; H; P; G; M; H; N; C; h; h]

1. por vuelco; expresando el equilibrio de momentos en el centro de la base (M), para que el cono no vuelque el momento activo producido por H debe ser equilibrado por el momento pasivo debido a la reacción N, que puede desplazarse hacia la derecha hasta situarse como máximo en el vértice C:

Hh ≤ Nh

En el límite de vuelco es por tanto H = N.

2. por deslizamiento; en general se verifica

H ≤ μN;

si el cono desliza, se verifica H = μN.

El máximo valor que puede tomar μ para que el cono no vuelque corresponde por tanto al valor de H = μN, en el límite de vuelco:

μN = N; ⇒ μ_{max} = 1

Si μ < μ_{max} el equilibrio se rompe por deslizamiento, mientras que si μ > μ_{max} se rompe por vuelco.

2.- El cable forma una catenaria, de la cual podemos expresar inmediatamente dos ecuaciones. En primer lugar, la diferencia de cotas entre A y B:

\underbrace{a cosh \frac{x_{B}}{a}}_{z_{B}} − \underbrace{a cosh \frac{x_{A}}{a}}_{z_{A}} = h;  (1)

por otra parte, la longitud del hilo entre A y B:

\underbrace{a senh \frac{x_{B}}{a}}_{s_{B}} − \underbrace{a senh \frac{x_{A}}{a}}_{s_{A}} = 2h;  (2)

donde se emplea la notación (s_{A}, s_{B}) para indicar el arco de catenaria medido desde el vértice de la misma hasta los puntos A y B respectivamente.

Las incógnitas del problema son (a, x_{A}, x_{B}). La ecuación que falta se obtiene expresando la condición de deslizamiento en el cono, teniendo en cuenta que V = qa senh(x_{A}/a) y H = μ(P − V):

qa = μ (P − qa senh \frac{x_{A}}{a} ) = μ(P − qs_{A})  (3)

Considerando que cosh^{2}(x_{A}/a) = 1 + senh^{2}(x_{A}/a) (o equivalentemente, z_{A}^{2} = a^{2} + s_{A}^{2}), y sustituyendo los datos del enunciado (P = 2hq, μ = 1/2), las ecuaciones (1) y (2) se convierten en

a cosh \frac{x_{B}}{a} − \sqrt{a^{2} + (2h − 2a)^{2}} = h;  (4)
a senh \frac{x_{B}}{a} − (2h − 2a) = 2h;  (5)

y combinando a su vez los cuadrados de las funciones hiperbólicas en estas dos ecuaciones se obtiene

a^{2} = [h + \sqrt{a^{2} + (2h − 2a)^{2}}]^{2} − [2h + (2h − 2a)]^{2}

Desarrollando esta expresión y eliminando la raíz cuadrada se obtiene finalmente la siguiente ecuación cuadrática en función de a:

44a^{2} − 144ha + 105h^{2} = 0  (6)

que admite en principio dos soluciones,

a = \frac{36h ± \sqrt{141}h}{22} = \{ \begin{matrix}2.1761h \\ 1.0966h \end{matrix}  (7)

Analicemos ahora la admisibilidad de las soluciones obtenidas. Sustituyendo la solución (7_{1}) en (3) se deduce

s_{A} = 2h − 2a = 2h(1 − 2.1761); V = qs_{A} = (1 − 2.1761)P

y por tanto

\frac{x_{A}}{a} = argsenh \frac{s_{A}}{a} = −0.9375;  z_{A} = a cosh \frac{x_{A}}{a} = 3.2044h
\frac{x_{B}}{a} = argsenh \frac{s_{A} + 2h}{a} = −0.1612; z_{B} = a cosh \frac{x_{B}}{a} = 2.2044h

Como vemos esta solución no es válida, ya que resulta z_{B} − z_{A} = −h, en contradicción con la ecuación (1). (Esta solución espúrea se ha introducido al elevar al cuadrado las ecuaciones para reducirlas).

Por el contrario, para la solución (7_{2}), realizando las mismas comprobaciones se deduce:

s_{A} = 2h(1 − 1.0966);  V = (1 − 1.0966)P
\frac{x_{A}}{a} = argsenh \frac{s_{A}}{a} = −0.1753;  z_{A} = a cosh \frac{x_{A}}{a} = 1.1135h
\frac{x_{B}}{a} = argsenh \frac{s_{A} + 2h}{a} = 1.2739; z_{B} = a cosh \frac{x_{B}}{a} = 2.1135h

Por lo que esta solución es válida, correspondiendo a una catenaria con el vértice situado entre los puntos A y B.