\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{2$^{\underline{\rm o}}$ EXAMEN PARCIAL (10 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 3\�} \underline{(10 ptos.)} \hfill Tiempo: 50\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{115mm}{
El sistema plano de la figura est� formado por una barra 
$AB$ homog�nea y pesada de masa $m$ y longitud $2a$ y una placa cuadrada
pesada de masa $m$ y lado $2a$. La barra est� articulada en $A$
a un punto fijo y en $B$ al centro de la placa.
En un instante determinado el sistema se encuentra en reposo en la posici�n
de equilibrio de m�nima energ�a potencial,
estando el cuadrado orientado con un lado horizontal. 
Una part�cula de masa $m$ y velocidad horizontal $v$ impacta el�sticamente 
contra un borde vertical de la placa en su extremo inferior, 
pudiendo suponerse que la percusi�n que se produce es horizontal. 

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item Movimiento del sistema en el instante inmediatamente posterior
        a la percusi�n;
  \item Percusiones reactivas que aparecen en $A$ y $B$;
  \item Posici�n m�s alta que alcanza el sistema despu�s de la percusi�n.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{50mm}{
\hfil\input{666exam.pic}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

\paragraph{1.-}

El balance cin�tico en la percusi�n se indica esquem�ticamente en la figura:
\vspace{5mm}

\centerline{
\parbox[c]{43mm}{\input{666exam.pi1}}
\hfil $+$ \hfil
\parbox[c]{43mm}{\input{666exam.pi2}}
\hfil $=$ \hfil
\parbox[c]{43mm}{\input{666exam.pi3}}
}
\vspace{5mm}

El movimiento despu�s de la percusi�n queda determinado por las inc�gnitas
$(\omega_b,\,\omega_p,\,v')$, para las que se toman como positivos los
sentidos indicados en la figura. Expresamos en primer lugar el balance
del momento cin�tico del conjunto (placa, barra y part�cula) en el punto
$A$, de forma que la �nica percusi�n exterior a este sistema $(P_A)$ no
interviene:
\[
  -3amv=3amv'-2am(2a\omega_b)-I_B^p\omega_p-I_A^b\omega_b
\]
donde $I_B^p=\frac{2}{3}ma^2$ es el momento de inercia de la placa cuadrada
en su centro e $I_A^b=\frac{4}{3}ma^2$ el de la barra en el extremo $A$.
Resulta as� la ecuaci�n
\begin{equation}
3am(v+v')=\frac{16}{3}ma^2\omega_b+\frac{2}{3}ma^2\omega_p
\label{eq:1}
\end{equation}

Por otra parte expresamos el balance de momento cin�tico
para el subsistema formado por la placa y la part�cula, en el punto $B$,
de forma que la percusi�n $P_B$ exterior a este sistema no d� momentos:
\begin{equation}
  -amv=amv'-\frac{2}{3}ma^2\omega_p
  \label{eq:2}
\end{equation}

Por �ltimo, debe establecerse la ecuaci�n que define el coeficiente 
de restituci�n $(e=1)$:
\begin{equation}
  v=v'+2a\omega_b+a\omega_p
  \label{eq:3}
\end{equation}

Resolviendo las tres ecuaciones (\ref{eq:1}), (\ref{eq:2}) y (\ref{eq:3})
resulta:
\[
  \mathbox{\omega_p=\frac{12}{13}\frac{v}{a};\quad
           \omega_b=\frac{3}{13}\frac{v}{a};\quad
           v'=-\frac{5}{13}v
           }
\]
queriendo decir el signo negativo para $v'$ que �sta toma sentido contrario
al dibujado arriba.

\paragraph{2.-}
En funci�n de las variables ya conocidas, la percusi�n 
reactiva $P_A$ se puede calcular expresando el balance de
cantidad de movimiento para el sistema conjunto:
\[
  -mv+P_A=-m(2a\omega_b)-m(a\omega_b)+mv'
\]

Planteando el balance de momento cin�tico para la barra en $A$ se obtiene la
percusi�n reactiva entre barra y placa $P_B$:
\[
  2aP_B=\frac{4}{3}ma^2 \omega_b
\]

Y por �ltimo, la percusi�n $P$ sobre la part�cula se obtiene expresando
el balance de momento cin�tico para �sta:
\[
  -mv+P=mv'
\]

Sustituyendo los valores anteriormente calculados para 
$(\omega_b,\,\omega_p,\,v')$ resulta
\[\mathbox{
  P_A=-\frac{1}{13}mv;\quad
  P_B=\frac{2}{13}mv;\quad
  P=\frac{8}{13}mv
  }
\]

\paragraph{3.-}
Establecemos la conservaci�n de la energ�a entre el instante posterior
al choque y el de m�xima altura para el punto $B$. La velocidad de rotaci�n
$\omega_p$ de la placa se conserva, al no existir ning�n momento sobre
su centro $B$:
\[
  \frac{1}{2}m(2a\omega_b)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}ma^2\right)\omega_p^2
  +\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}ma^2\right)\omega_b^2
  =
  \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}ma^2\right)\omega_p^2
  +mg2a(1-\cos\theta)+mga(1-\cos\theta)
\]
siendo $\theta$ el �ngulo que forma la barra $AB$ con la vertical.
Despejando y sustituyendo los valores antes calculados,
\[
  \mathbox{\cos\theta=1-\frac{8}{169}\frac{v^2}{ga}}
\]



\end{document}
