\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
\setlength{\textheight}{235mm}
\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{2$^{\underline{\rm o}}$ EXAMEN PARCIAL (10 de Junio de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 2\�} \underline{(20 ptos.)} \hfill Tiempo: 90\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{90mm}{
Una placa homog�nea pesada tiene forma de tri�ngulo rect�ngulo
is�sceles con masa $m$ y lados $OA=AB=a$. El v�rtice $O$ 
est� fijo mientras que el $A$
est� obligado a permanecer en el plano horizontal $Oxy$ mediante
una ligadura lisa. Entre el v�rtice $A$ y el punto $(a,0,0)$
existe adem�s un resorte lineal, de constante $k$ y longitud natural
nula.

Se pide:
\begin{enumerate}
  \item Tensor de inercia de la placa en el punto $O$, expresando
        sus componentes en el triedro m�vil $Ox'y'z'$, donde
        $Ox'$ sigue la recta $OA$, $Oy'$ es paralelo a $AB$,
        y $Oz'$ es perpendicular al plano de la placa formando
        con los anteriores un triedro a derechas.
  \item Para una posici�n gen�rica, expresiones del momento cin�tico
        en $O$ (componentes en el triedro $Ox'y'z'$), energ�a cin�tica
        y energ�a potencial.
  \item Ecuaciones diferenciales del movimiento.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{75mm}{
\hfil\input{665exam.pic}
}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
  \item Integrales primeras, suponiendo que la placa parte del reposo
        desde la posici�n $(\psi_0=0, \theta_0=\pi/6)$.
  \item Expresi�n de la reacci�n del plano en el punto $A$
  \item Para peque�as oscilaciones alrededor de la posici�n de
        equilibrio estable, y considerando el valor de la rigidez del muelle
        $k=mg/a$,
        \begin{enumerate}
          \item Ecuaciones del movimiento linealizadas
          \item Frecuencias propias del movimiento
          \item Modos normales de vibraci�n
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent\declaracion{Nota le�da por los altavoces:}
 No ser� necesario resolver el apartado 5\�

\noindent\mbox{}\hrulefill

\noindent\parbox{90mm}{
\paragraph{1.-}
Obtengamos en primer lugar los momentos y productos de inercia seg�n
los ejes definidos en el enunciado. Llamando $\rho=m/(a^2/2)$ a la densidad
por unidad de �rea de la placa,
\[
  I_{x'}=\int_0^a (y')^2(a-y')\rho\,dy'
  =\frac{1}{12}\rho a^4=\frac{1}{6}ma^2
\]
\[
  I_{y'}=\frac{1}{6}ma^2-m\left(\frac{a}{3}\right)^2+
  m\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{1}{2}ma^2
\]
}
\hfill
\parbox{75mm}{
\hfil\input{665exam.pi2}
}

\noindent\parbox{90mm}{
\[
  I_{z'}=I_{x'}+I_{y'}=\frac{2}{3}ma^2
\]
\[
  P_{x'z'}=\rho\int_0^ax'\,dx\int_0^{x'}y'\,dy'=\rho\int_0^a\frac{(x')^3}{2}
  \,dx'=\rho\frac{a^4}{8}=\frac{1}{4}ma^2
\]
\[P_{y'z'}=P_{z'x'}=0\]

El tensor de inercia es por tanto
\begin{equation}
  \bm{I}_O=ma^2\left(\begin{array}{ccc}
           1/6 & -1/4 & 0 \\
           -1/4 & 1/2 & 0 \\
           0 & 0 & 2/3
           \end{array}\right)
  \label{eq:IO}
\end{equation}

\paragraph{2.-}
Denotaremos por
$\{\bm{i},\,\bm{j},\,\bm{k}\}$ a los versores del triedro $Oxyz$ y por
$\{\bm{i}',\,\bm{j}',\,\bm{k}'\}$ a los del $Ox'y'z'$. El vector
velocidad angular es
\begin{equation}
  \bm{\Omega}=\dot\psi\bm{k}+\dot\theta\bm{i}'
  \label{eq:Omega0}
\end{equation}
y considerando que $\bm{k}=-\cos\theta\,\bm{j}'+\sen\theta\,\bm{k}'$,
\begin{equation}
  \bm{\Omega}=\dot\theta\bm{i}'-\dot\psi\cos\theta\,\bm{j}'+\dot\psi
  \sen\theta\,\bm{k}'
  \label{eq:Omega}
\end{equation}
}
\hfill
\parbox{75mm}{
\hfil\input{665exam.pi1}
}
De aqu� se obtiene directamente la expresi�n del momento cin�tico,
\begin{equation}
  \bm{H}_O=\bm{I}_O\cdot\bm{\Omega}
  =ma^2\left[
  \left(\frac{1}{6}\dot\theta+\frac{1}{4}\dot\psi\cos\theta\right)\bm{i}'-
  \left(\frac{1}{4}\dot\theta+\frac{1}{2}\dot\psi\cos\theta\right)\bm{j}'+
  \frac{2}{3}\dot\psi\sen\theta\,\bm{k}'
  \right].
  \label{eq:HO}
\end{equation}
La energ�a cin�tica es
\begin{equation}
  T=\frac{1}{2}\bm{H}_O\cdot\bm{\Omega}
  =\frac{1}{2}ma^2\left[\frac{1}{6}\dot\theta^2
   +\dot\psi^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sen^2\theta\right)
   +\frac{1}{2}\dot\psi\dot\theta\cos\theta\right],
  \label{eq:T}
\end{equation}
y la energ�a potencial, llamando $\delta$ a la elongaci�n del muelle,
\begin{equation}
  V=-mg\frac{a}{3}\cos\theta+\frac{1}{2}k\delta^2
   =-mg\frac{a}{3}\cos\theta+ka^2(1-\cos\psi)
  \label{eq:V}
\end{equation}

\paragraph{3.-}
Obtendremos las ecuaciones del movimiento de Lagrange. La Lagrangiana es
\begin{equation}
  L=T-V
  =\frac{1}{2}ma^2\left[\frac{1}{6}\dot\theta^2
   +\dot\psi^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sen^2\theta\right)
   +\frac{1}{2}\dot\psi\dot\theta\cos\theta\right]
   +mg\frac{a}{3}\cos\theta-ka^2(1-\cos\psi)
  \label{eq:L}
\end{equation}
Derivando �sta resultan las ecuaciones siguientes:
\begin{equation}
  \frac{1}{6}ma^2\ddot\theta+\frac{1}{4}ma^2\ddot\psi\cos\theta
  -\frac{1}{6}ma^2\dot\psi^2\sen\theta\cos\theta+mg\frac{a}{3}\sen\theta
  =0
  \label{eq:ecl1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{1}{4}ma^2\ddot\theta\cos\theta+ma^2\ddot\psi
  \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sen^2\theta\right)+\frac{1}{3}ma^2
  \dot\psi\dot\theta\sen\theta\cos\theta-\frac{1}{4}ma^2\dot\theta^2
  \sen\theta+ka^2\sen\psi
  =0
  \label{eq:ecl2}
\end{equation}

\paragraph{4.-}
Ninguna de las coordenadas empleadas es c�clica. En cambio existe
una integral primera debida a
la constancia de $(T+V)$, al ser todas
las fuerzas conservativas. Sustituyendo el valor de las condiciones
iniciales del enunciado en la suma de (\ref{eq:T}) y (\ref{eq:V}) resulta
\begin{equation}
  \frac{1}{2}ma^2\left[\frac{1}{6}\dot\theta^2
   +\dot\psi^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sen^2\theta\right)
   +\frac{1}{2}\dot\psi\dot\theta\cos\theta\right]
   -mg\frac{a}{3}\left(\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+ka^2(1-\cos\psi)
   =
   0
  \label{eq:T+V}
\end{equation}

\paragraph{5.-}
La restricci�n que obliga al punto $A$ a mantenerse sobre el plano
liso $Oxy$ produce una reacci�n normal al mismo que llamaremos $R$.
Esta reacci�n no se halla en las ecuaciones de Lagrange, por lo que
para obtenerla emplearemos las ecuaciones de Euler del movimiento,
cuya expresi�n vectorial es
\begin{equation}
  \bm{M}_O=\left.\frac{d\bm{H}_O}{dt}\right|_{rel}+
  \bm{\Omega}\wedge\bm{H}_O
  \label{eq:eulv}
\end{equation}
El momento de las fuerzas en $O$ proviene de:
\begin{itemize}
  \item la fuerza del muelle,
  \begin{eqnarray*}
    \left.\bm{M}_O\right|_{k}
    &=&
    a\bm{i}'\wedge \left[ka(1-\cos\psi)\bm{i}-ka\sen\psi\,\bm{j}\right] \\
    &=&
    -ka^2\sen\psi\,\bm{k} \\
    &=&
    ka^2\sen\psi\cos\theta\,\bm{j}'-ka^2\sen\psi\sen\theta\,\bm{k}'
  \end{eqnarray*}
  \item el peso,
  \begin{eqnarray*}
    \left.\bm{M}_O\right|_{w}
    &=&
    \left(\frac{2a}{3}\,\bm{i}'+\frac{a}{3}\,\bm{j}'\right)
    \wedge\left(-mg\bm{k}\right) \\
    &=&
    mg\frac{2a}{3}\cos\theta\,\bm{k}'+mg\frac{2a}{3}\sen\theta\,\bm{j}'
    -mg\frac{a}{3}\sen\theta\,\bm{i}'
  \end{eqnarray*}
  \item la reacci�n vertical del plano en $A$,
  \begin{eqnarray*}
    \left.\bm{M}_O\right|_{R}
    &=&
    a\bm{i}'\wedge (-R\cos\theta\,\bm{j}'+R\sen\theta\,\bm{k}') \\
    &=&
    -aR\cos\theta\,\bm{k}'-aR\sen\theta\,\bm{j}'
  \end{eqnarray*}
\end{itemize}
Introduciendo estos momentos y desarrollando las componentes de
las ecuaciones de Euler (\ref{eq:eulv}), resultan finalmente:
\begin{equation}
  -mg\frac{a}{3}\sen\theta=\frac{1}{6}ma^2\ddot\theta
  +\frac{1}{4}ma^2\ddot\psi\cos\theta-\frac{1}{6}ma^2\dot\psi^2
  \sen\theta\cos\theta
  \label{eq:eul1}
\end{equation}
\begin{equation}
  -aR\sen\theta+mg\frac{2a}{3}\sen\theta+ka^2\sen\psi\cos\theta
  =-\frac{1}{4}ma^2\ddot\theta-\frac{1}{2}ma^2\ddot\psi\cos\theta
  +\frac{1}{4}ma^2\dot\psi^2\sen\theta\cos\theta
  \label{eq:eul2}
\end{equation}
\begin{equation}
  -aR\cos\theta+mg\frac{2a}{3}\cos\theta-ka^2\sen\psi\sen\theta=
  \frac{2}{3}ma^2\ddot\psi\sen\theta+\frac{1}{3}ma^2\dot\psi\dot\theta
  \cos\theta-\frac{1}{4}ma^2\dot\theta^2+\frac{1}{4}ma^2\dot\psi^2\cos^2
  \theta
  \label{eq:eul3}
\end{equation}

La expresi�n de la reacci�n $R$ del plano puede obtenerse tanto de la
ecuaci�n (\ref{eq:eul2}) como de (\ref{eq:eul3}), despejando y dej�ndola
expresada en funci�n de las coordenadas $(\theta,\,\psi)$ y sus derivadas
de orden 1 y 2.

Por otra parte, podemos observar que la ecuaci�n (\ref{eq:eul1}) coincide
con la 1\� ecuaci�n de Lagrange (\ref{eq:ecl1}), mientras que la segunda
ecuaci�n de Lagrange (\ref{eq:ecl2}) se obtiene sumando (\ref{eq:eul2}) multiplicada
por $(\cos\theta)$ y (\ref{eq:eul3}) por $(-\sen\theta)$, operaci�n
que permite eliminar de las ecuaciones de Euler la reacci�n $R$.

\paragraph{6.-}

Linealizando las ecuaciones (\ref{eq:ecl1}) y (\ref{eq:ecl2})
para $(\theta,\psi,\dot\theta,\dot\psi)$ peque�as:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{6}ma^2\ddot\theta+\frac{1}{4}ma^2\ddot\psi+\frac{1}{3}mga\theta
 &=& 0 \label{eq:lin1} \\
 \frac{1}{4}ma^2\ddot\theta+\frac{1}{2}ma^2\ddot\psi+ka^2\psi
 &=& 0 \label{eq:lin2}
\end{eqnarray}
de donde podemos identificar las matrices de masa y rigidez:
\[
  \pmb{\sf M} = ma^2 \left(\begin{array}{cc}
                     1/6 & 1/4 \\
                     1/4 & 1/2
                     \end{array}\right)
  ;\qquad
  \pmb{\sf K} = \left(\begin{array}{cc}
                     \frac{1}{3}mga & 0 \\
                     0 & ka^2
                     \end{array}\right)
\]
El movimiento libre para peque�as oscilaciones se puede describir como
las oscilaciones desacopladas de dos modos normales de vibraci�n, cada
uno con su frecuencia propia.
Considerando que seg�n el enunciado $ka^2=mga$, la ecuaci�n caracter�stica
del problema de autovalores que proporciona las frecuencias propias es
\[
  0=|\pmb{\sf K}-\omega^2\pmb{\sf M}|=
    \frac{1}{3}\left(mga-\frac{1}{2}ma^2\omega^2\right)^2
    -\left(\frac{1}{4}ma^2\omega^2\right)^2
\]
Las soluciones de esta ecuaci�n cuadr�tica en $\omega^2$ son
\[
  \left\{
  \begin{array}{ll}
  \omega_1^2=\displaystyle\frac{4}{2-\sqrt{3}}\frac{g}{a}=4(2+\sqrt{3})\frac{g}{a}\\
  \\
  \omega_1^2=\displaystyle\frac{4}{2+\sqrt{3}}\frac{g}{a}=4(2-\sqrt{3})\frac{g}{a}
  \end{array}\right.
\]
los vectores propios o modos normales de vibraci�n correspondientes 
a estas frecuencias propias son respectivamente
\[
\{{\bf u}_1\}=\left\{\begin{array}{c}
                     1 \\ -1/\sqrt{3}
                     \end{array}\right\}
;\quad
\{{\bf u}_2\}=\left\{\begin{array}{c}
                     1 \\ 1/\sqrt{3}
                     \end{array}\right\}
\]
(sin normalizar respecto de la matriz de masas).


\end{document}
