\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mecánica}\\*[4mm]
{${\rm 1}^{\rm er}$ EXAMEN PARCIAL (9 de Febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\º \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 5\º} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{75mm}{
Un disco de masa $M$ y radio $R$ rueda sin deslizar sobre un plano
inclinado un ángulo $\alpha$ respecto de la horizontal. Del centro del
disco cuelga un péndulo simple constituido por una varilla sin masa de
longitud $l$ con una masa puntual $m$ en su extremo. 

El centro del disco está unido a un punto fijo mediante un amortiguador 
viscoso de constante $c$ que se opone al movimiento con una fuerza 
proporcional a la velocidad (ver figura).

Para considerar la resistencia del aire, se supone que sobre la masa puntual 
actúa una fuerza viscosa ${\bm F}=-c {\bm v}$, siendo ${\bm v}$ la velocidad 
de dicha masa.

Se pide:
}
\hfill
\parbox{90mm}{
\hfil\input{642exam.pic}
}

\begin{enumerate}
\item Expresión de las fuerzas generalizadas correspondientes a las
fuerzas viscosas.
\item Ecuaciones diferenciales del movimiento. Discutir la existencia de 
integrales primeras.
\end{enumerate}
\noindent\mbox{}\hrulefill

\noindent
\parbox{80mm}{\input{642exam.pi1}}
\hfill
\parbox{70mm}{
\paragraph{1.-} 
El sistema tiene 2 g.d.l. para lo que
tomamos como coordenadas generalizadas:
$x$, desplazamiento del disco en el sentido descendente del plano;
$\varphi$, ángulo absoluto girado por la varilla respecto de la
perpendicular al plano.

Para obtener las fuerzas generalizadas
calculamos el trabajo virtual para desplazamientos 
virtuales arbitrarios obtenidos a partir de $\delta x$ y $\delta \varphi$.
La expresión de las fuerzas viscosas para el disco y la masa puntual, 
referidas a los ejes cartesianos indicados en la figura, es respectivamente:
}
\begin{eqnarray}
 {\bm F}_{d}&=&-c \dot{x}\, \bm{i} \label{5.1} \\
 {\bm F}_{m}&=&-(c \dot{x}+cl\dot{\varphi} \cos \varphi)\bm{i}+
 c l \dot{\varphi} \sen \varphi\, \bm{j} \label{5.2}
\end{eqnarray}
Los correspondientes desplazamientos virtuales son:
\begin{eqnarray}
\delta {\bm r}_{d}&=& \delta x\,\bm{i} \label{5.3} \\
\delta {\bm r}_{m}&=& (\delta x +l \cos \varphi \delta \varphi)\bm{i}-
l \sen \varphi \delta \varphi \,\bm{ j} \label{5.4}
\end{eqnarray}
El trabajo virtual correspondiente se obtiene haciendo:
$$\delta W= {\bm F}_{d} \cdot \delta {\bm r}_{d}+
{\bm F}_{m} \cdot \delta {\bm r}_{m} $$
Sustituyendo (\ref{5.1};\ref{5.2};\ref{5.3};\ref{5.4}) en esta expresión 
y agrupando en $\delta x$ y $\delta \varphi$ se obtiene:
\begin{equation}
\delta W=(-2 c \dot{x}-cl\dot{\varphi} \cos \varphi) \delta x +
(-c l^2 \dot{\varphi} -c l \dot{x} \cos \varphi)\delta \varphi 
\label{5.5}
\end{equation}
Las fuerzas generalizadas respectivas son los coeficientes de $\delta x$ y 
$\delta \varphi$ en (\ref{5.5}), resultando:
\begin{eqnarray}
Q_{x}&=& -2 c \dot{x}-cl\dot{\varphi} \cos \varphi \label{5.6} \\
Q_{\varphi}&=& -c l^2 \dot{\varphi} -c l \dot{x} \cos \varphi \label{5.7}
\end{eqnarray}

\paragraph{2.-} 
La energía cinética del disco y de la masa puntual son respectivamente
$$T_{d}=\frac{1}{2} M \dot{x}^2 +\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} M R^2 \right)
\left( \frac{\dot{x}}{R} \right)^2, \qquad
T_{m}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{\varphi}^2 l^2+
2l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi). $$
% por tanto, la energía cinética del sistema es:
% \begin{equation}
% T=T_{d}+T_{m}=\frac{3}{4} M \dot{x}^2 +\frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{\varphi}^2 l^2+
% 2l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi) \label{5.8}
% \end{equation}
El potencial de las fuerzas gravitatorias es:
\[
  V=-M g x \sen \alpha - mg (x \sen \alpha + l \cos (\varphi-\alpha)),
\]
con lo que se obtiene la función Lagrangiana ``parcial'' del sistema:
\begin{equation}
L=T_d+T_m-V= 
\frac{3}{4} M \dot{x}^2 +\frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{\varphi}^2 l^2+
2l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi) + M g x \sen \alpha 
+ mg (x \sen \alpha + l \cos (\varphi-\alpha)).
\label{5.10}
\end{equation}
Esta Lagrangiana no contiene información alguna sobre las fuerzas viscosas 
no conservativas. 
Por ello, se deben incluir las fuerzas generalizadas correspondientes
en las ecuaciones de Lagrange:
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right)-
\frac{\partial L}{\partial x} = Q_{x};\quad
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right)-
\frac{\partial L}{\partial \varphi} = Q_{\varphi} \label{5.12}
\end{equation}
Sustituyendo (\ref{5.6},\ref{5.7},\ref{5.10}) en (\ref{5.12}) y
operando, se obtiene: 
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{3}{2}M+m \right) \ddot{x} + ml\ddot{\varphi}\cos\varphi-
ml\dot{\varphi}^2 \sen \varphi - (M+m)g\sen \alpha&=&
-2 c \dot{x}-cl\dot{\varphi} \cos \varphi \\
ml\ddot{x}\cos \varphi + m l^2 \ddot{\varphi}+mgl \sen (\varphi-\alpha)&=&
-c l^2 \dot{\varphi} -c l \dot{x} \cos \varphi
\end{eqnarray*}

Ninguna de las coordenadas es cíclica. Al actuar fuerzas no
conservativas (las fuerzas viscosas) la energía no se conserva. Por otra
parte tampoco existe la integral de Jacobi ya que aunque
$\partial L / \partial t=0$, $L$ es una Lagrangiana ``parcial'' del sistema. 

\end{document}
