Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

1^{er} EXAMEN PARCIAL (9 de Febrero de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 5\underline{o} Tiempo: 45 min.

Un disco de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ángulo α respecto de la horizontal. Del centro del disco cuelga un péndulo simple constituido por una varilla sin masa de longitud l con una masa puntual m en su extremo. El centro del disco está unido a un punto fijo mediante un amortiguador viscoso de constante c que se opone al movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad (ver figura). Para considerar la resistencia del aire, se supone que sobre la masa puntual actúa una fuerza viscosa F = −cv, siendo v la velocidad de dicha masa. Se pide:

[figure: R; M; m; α; c; l]

1. Expresión de las fuerzas generalizadas correspondientes a las fuerzas viscosas.

2. Ecuaciones diferenciales del movimiento. Discutir la existencia de integrales primeras.

[figure: m; α; c; l; x; φ; j; i; clφ̇; cẋ; cẋ]

1.- El sistema tiene 2 g.d.l. para lo que tomamos como coordenadas generalizadas: x, desplazamiento del disco en el sentido descendente del plano; φ, ángulo absoluto girado por la varilla respecto de la perpendicular al plano. Para obtener las fuerzas generalizadas calculamos el trabajo virtual para desplazamientos virtuales arbitrarios obtenidos a partir de δx y δφ. La expresión de las fuerzas viscosas para el disco y la masa puntual, referidas a los ejes cartesianos indicados en la figura, es respectivamente:

F_{d} = −cẋ i  (1)
F_{m} = −(cẋ + clφ̇ cos φ)i + clφ̇ sen φ j  (2)

Los correspondientes desplazamientos virtuales son:

δr_{d} = δx i  (3)
δr_{m} = (δx + l cos φδφ)i − l sen φδφ j  (4)

El trabajo virtual correspondiente se obtiene haciendo:

δW = F_{d} · δr_{d} + F_{m} · δr_{m}

Sustituyendo (1;2;3;4) en esta expresión y agrupando en δx y δφ se obtiene:

δW = (−2cẋ − clφ̇ cos φ)δx + (−cl^{2}φ̇ − clẋ cos φ)δφ  (5)

Las fuerzas generalizadas respectivas son los coeficientes de δx y δφ en (5), resultando:

Q_{x} = −2cẋ − clφ̇ cos φ  (6)
Q_{φ} = −cl^{2}φ̇ − clẋ cos φ  (7)

2.- La energía cinética del disco y de la masa puntual son respectivamente

T_{d} = \frac{1}{2}Mẋ^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}MR^{2}) (\frac{ẋ}{R})^{2} , T_{m} = \frac{1}{2}m(ẋ^{2} + φ̇^{2}l^{2} + 2lẋφ̇ cos φ).

El potencial de las fuerzas gravitatorias es:

V = −Mgx sen α − mg(x sen α + l cos(φ − α)),

con lo que se obtiene la función Lagrangiana “parcial” del sistema:

L = T_{d}+T_{m}−V = \frac{3}{4}Mẋ^{2}+ \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+φ̇^{2}l^{2}+2lẋφ̇ cos φ)+Mgx sen α+mg(x sen α+l cos(φ−α)).

(8)

Esta Lagrangiana no contiene información alguna sobre las fuerzas viscosas no conservativas. Por ello, se deben incluir las fuerzas generalizadas correspondientes en las ecuaciones de Lagrange:

\frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂ẋ}) − \frac{∂L}{∂x} = Q_{x}; \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂φ̇}) − \frac{∂L}{∂φ} = Q_{φ}  (9)

Sustituyendo (6,7,8) en (9) y operando, se obtiene:

(\frac{3}{2}M + m) ẍ + mlφ̈ cos φ − mlφ̇^{2} sen φ − (M + m)g sen α = −2cẋ − clφ̇ cos φ
mlẍ cos φ + ml^{2}φ̈ + mgl sen(φ − α) = −cl^{2}φ̇ − clẋ cos φ

Ninguna de las coordenadas es cíclica. Al actuar fuerzas no conservativas (las fuerzas viscosas) la energía no se conserva. Por otra parte tampoco existe la integral de Jacobi ya que aunque ∂L/∂t = 0, L es una Lagrangiana “parcial” del sistema.