\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mecánica}\\*[4mm]
{1$^{\underline{\rm er}}$ EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\º \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 4\º} \hfill Tiempo: 60\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{75mm}{
En el sistema mecánico de la figura (correspondiente a un rodamiento
de bolas) el cilindro de radio interior $3R$ y el cono de semiángulo
$30^{\circ}$ son coaxiales y giran respecto de su eje independientemente.
Entre los dos está encajada una esfera de radio $R$ que rueda sin 
deslizar sobre el plano fijo inferior,
apoyándose asimismo en el cono y en el cilindro sin deslizamiento.
El movimiento de éstos es tal que los puntos de contacto $A$ y $B$ 
tienen constantemente
velocidades $-V$ y $+V$ respectivamente (positivas en sentido
hacia fuera del plano del papel).
Se pide, justificando adecuadamente:
}
\hfill
\parbox{90mm}{
\hfil\input{641exam.pic}
}
\begin{enumerate}
  \item describir el movimiento, discutiendo si el eje del movimiento 
        helicoidal tangente corta al eje del cono en un punto fijo
        y definiendo los axoides;
  \item velocidades angulares de rodadura y pivotamiento de la esfera
        sobre el plano inferior, así como la velocidad del 
        centro $(C)$ de ésta;
  \item aceleración angular de la esfera;
  \item aceleración del punto de la esfera en contacto con el plano;
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill

\paragraph{1.-}
El movimiento de la esfera está definido mediante la rodadura sin 
deslizamiento en tres puntos distintos: $A$, $B$ e $I$. La velocidad
de los puntos de la esfera en contacto es igual que la de los puntos
de las superficies tangentes respectivas: $-V$, $+V$ y $0$.

El movimiento instantáneo es una rotación alrededor de un eje que 
pasa por $I$, al anularse la velocidad de este punto.
Si el eje instantáneo de rotación fuese paralelo al eje común de cono
y cilindro la velocidad de los puntos $A$ y $B$ sería distinta en módulo;
por tanto debe tener una cierta inclinación
respecto del eje de revolución cortando a éste en un punto fijo,
ya que las sucesivas posiciones y campos de velocidades de la esfera 
se obtienen por revolución alrededor del eje del cono.
Llamaremos $V$ a este punto. 

El axoide fijo es por tanto un cono, de eje el común a cono y cilindro
y generatriz $VI$. Para caracterizar el axoide móvil observamos que el
eje de rotación $VI$ forma siempre el mismo ángulo con $VC$, por lo que el
lugar geométrico buscado es un cono de eje $VC$ y generatriz $VI$.

\paragraph{2.-}
Emplearemos un triedro $(\bm{i},\,\bm{j},\,\bm{k})$, siendo $\bm{i}$
horizontal, $\bm{j}$  vertical y $\bm{k}$ normal al papel (hacia fuera).
El vector velocidad de rotación será $\bm{\Omega}=\omega_r\,\bm{i}
+\omega_p\,\bm{k}$. Las velocidades de los puntos $A$ y $B$ son
\begin{eqnarray*}
  && v_A=-V=\omega_r\frac{R}{2}+\omega_p R\frac{\sqrt{3}}{2}, \\
  && v_B=+V=\omega_r R-\omega_p R.
\end{eqnarray*}
Despejando entre estas ecuaciones se obtiene
\begin{equation}
  \mathbox{
  \begin{array}{l}
  \displaystyle
  \omega_p=-\frac{V}{R}\frac{3}{1+\sqrt{3}}
          =-\frac{V}{R}\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1); \\
  \\
  \displaystyle
  \omega_r=-\frac{V}{R}\frac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
          =-\frac{V}{R}\frac{1}{2}(3\sqrt{3}-5).
  \end{array}
  }
  \label{eq:4.omegas}
\end{equation}

Una vez conocida $\bm{\Omega}$, La velocidad de $C$ se calcula inmediatamente: 
\begin{equation}
  \bm{v}_C=\bm{\Omega}\wedge\bm{IC}
  \quad\Rightarrow\quad
  \mathbox{v_C=\omega_r R=-\frac{V}{2}(3\sqrt{3}-5);}
  \label{eq:4.vC}
\end{equation}
puesto que $\omega_r$ es negativo (es decir, sentido distinto al representado
en la figura), la velocidad de $C$ es hacia dentro del papel.

El ángulo $\alpha$ que forma $\bm{\Omega}$ con el eje de revolución
viene dado por $\tan\alpha=\omega_r / \omega_p=(2-\sqrt{3})/3$.
El punto fijo $V$ está situado por debajo del plano horizontal
a una distancia igual a $2R/\tan\alpha=6R/(2-\sqrt{3})$.

\paragraph{3.-}
El vector $\bm{\Omega}$ gira a lo largo del movimiento alrededor del
eje de revolución del sistema, con una cierta velocidad $\omega\,\bm{j}$. 
Para calcular ésta observamos que el centro $C$ de la esfera describe
una circunferencia alrededor del eje de revolución, con la velocidad 
$v_C$ calculada
antes (\ref{eq:4.vC}). Por tanto $\omega=v_C/(2R)=\omega_r/2$.
La aceleración angular es pues
\begin{equation}
  \dot\bm{\Omega}=\omega\,\bm{j}\wedge(\omega_r\,\bm{i}+\omega_p\,\bm{j})
                 =\frac{\omega_r^2}{2}\bm{k}
                 =\frac{V^2}{R^2}\frac{26-15\sqrt{3}}{4}.
  \label{eq:4.dOmega}
\end{equation}

\paragraph{4.-}
Aplicaremos la expresión de la aceleración a partir del punto $C$ cuyo
movimiento es conocido:
\[
  \bm{a}_I=\bm{a}_C+\dot\bm{\Omega}\wedge\bm{CI}
          +\bm{\Omega}\wedge(\bm{\Omega}\wedge\bm{CI}).
\]
Considerando que $\bm{a}_C=-2R\omega^2\,\bm{i}=-R(\omega_r^2/2)\bm{i}$;
$\bm{CI}=-R\,\bm{j}$; y los valores de $\bm{\Omega}$ y $\dot\bm{\Omega}$
definidos en (\ref{eq:4.omegas}) y (\ref{eq:4.dOmega}), sustituyendo 
en la expresión anterior resulta
\[
  \bm{a}_I=-R\omega_r\omega_p\,\bm{i}+R\omega_r^2\,\bm{j}
\]
y operando,
\[
  \mathbox{
  \bm{a}_I=\frac{V^2}{2R}\left[-(21-12\sqrt{3})\bm{i}
                               +(26-15\sqrt{3})\bm{j}\right].
  }
\]


\end{document}
