\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{1$^{\underline{\rm er}}$ EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 3\�} \hfill Tiempo: 60\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{100mm}{
Un cuadrado indeformable $OABC$, 
formado por 4 varillas huecas de longitud $l$ cada una,
se mueve en un plano horizontal alrededor del v�rtice fijo $O$
con velocidad de giro constante $\omega$. En el lado $AB$, seg�n
indica la figura, puede moverse sin rozamiento una part�cula $P$
de masa $m$, unida al v�rtice $A$ mediante un resorte de constante
$k$ y longitud nula sin tensi�n.
Se pide:
\begin{enumerate}
  \item Aceleraci�n absoluta de $P$, 
        en sus componentes normal y tangencial a $AB$, 
        para un instante gen�rico. Se tomar� como par�metro $u=AP$.
  \item Ecuaci�n diferencial del movimiento de $P$ relativo a $AB$.
  \item Suponiendo que inicialmente $u(0)=u_0$ y $\dot u(0)=0$,
        estudiar la posibilidad de equilibrio relativo estable, en
        funci�n de la relaci�n entre $\omega$ y $k$.
  \item Reacci�n de la varilla $AB$ sobre $P$.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{60mm}{
\hfil\input{640exam.pic}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill



\noindent
\parbox{60mm}{\input{640exam.pi1}}
\hfill
\parbox{100mm}{
\paragraph{1.-}
La expresi�n general de la aceleraci�n de $P$ es
\[
  \bm{a}_P=\underbrace{\bm{a}_O}_{={\bf 0}}
           +\underbrace{\dot\Omega}_{=0}\bm{k}\wedge\bm{OP}
           -\Omega^2 \bm{OP}
           +2\Omega\bm{k}\wedge\bm{v}_{\rm rel}+\bm{a}_{\rm rel}
\]
Tomando los versores $(\bm{e}_u,\,\bm{e}_v)$ en direcci�n de $OC$ y $OA$
respectivamente, y considerando que $\bm{OP}=u\bm{e}_u+l\bm{e}_v;\ 
\bm{v}_{\rm rel}=\dot u\bm{e}_u;\ \bm{a}_{\rm rel}=\ddot u\bm{e}_u$,
resultan las componentes de $\bm{a}_P$:
\begin{equation}
  \mathbox{
  a_u = -\omega^2 u+\ddot u;
  \quad
  a_v = -\omega^2 l+2\omega\dot u
  }
  \label{eq:3.ac}
\end{equation}
}


\paragraph{2.-}
Basta con plantear la ecuaci�n din�mica de la part�cula en direcci�n $u$
con la expresi�n de la aceleraci�n obtenida en (\ref{eq:3.ac}):
\begin{equation}
  -ku=m(-\omega^2 u+\ddot u)
  \quad\Rightarrow\quad
  \mathbox{m\ddot u+(k-m\omega^2)u=0}
  \label{eq:3.ecdif}
\end{equation}

\paragraph{3.-}
Para el equilibrio relativo, al ser $\dot u(0)=0$, basta con que sea
$\ddot u=0$. Examinando la ecuaci�n (\ref{eq:3.ecdif}), al ser $u(0)\neq 0$,
el coeficiente de $u$ debe anularse:
\[
  \mathbox{k-m\omega^2=0.}
\]
El equilibrio es indiferente, puesto que se produce para cualquier
valor de $u$.

Tambi�n se podr�a responder a este apartado integrando la ecuaci�n 
(\ref{eq:3.ecdif}), aunque no es necesario.
Dependiendo del signo del coeficiente de $u$, denominando
$\omega^{*}=\sqrt{|k/m-\omega^2|}$, la ecuaci�n horaria vale
$u(t)=u_0\cos(\omega^{*} t)$ (para $k/m-\omega^2>0$) �
$u(t)=u_0\cosh(\omega^{*} t)$ (para $k/m-\omega^2\leq 0$).
Queda claro que para $u=u_0$ (constante) debe ser $\omega^{*}=0$.


\paragraph{4.-}
La reacci�n de la varilla se obtiene expresando mediante la aceleraci�n
calculada en (\ref{eq:3.ac}) la din�mica transversal:
\[
  \mathbox{R=m(-\omega^2 l+2\omega\dot u).}
\]


\end{document}
