Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

1\underline{er} EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 3\underline{o} Tiempo: 60 min.

Un cuadrado indeformable OABC, formado por 4 varillas huecas de longitud l cada una, se mueve en un plano horizontal alrededor del vértice fijo O con velocidad de giro constante ω. En el lado AB, según indica la figura, puede moverse sin rozamiento una partícula P de masa m, unida al vértice A mediante un resorte de constante k y longitud nula sin tensión. Se pide:

1. Aceleración absoluta de P, en sus componentes normal y tangencial a AB, para un instante genérico. Se tomará como parámetro u = AP.

2. Ecuación diferencial del movimiento de P relativo a AB.

3. Suponiendo que inicialmente u(0) = u_{0} y u̇(0) = 0, estudiar la posibilidad de equilibrio relativo estable, en función de la relación entre ω y k.

4. Reacción de la varilla AB sobre P.

[figure: O; C; B; A; P; m; ω; k]

[figure: O; C; B; A; P; u; l; ω; e_{u}; e_{v}]

1.- La expresión general de la aceleración de P es

a_{P} = \underbrace{a_{O}}_{=0} + \underbrace{Ω̇}_{=0} k ∧ OP − Ω^{2}OP + 2Ωk ∧ v_{rel} + a_{rel}

Tomando los versores (e_{u}, e_{v}) en dirección de OC y OA respectivamente, y considerando que OP = ue_{u} + le_{v}; v_{rel} = u̇e_{u}; a_{rel} = üe_{u}, resultan las componentes de a_{P}:

a_{u} = −ω^{2}u + ü; a_{v} = −ω^{2}l + 2ωu̇  (1)

2.- Basta con plantear la ecuación dinámica de la partícula en dirección u con la expresión de la aceleración obtenida en (1):

− ku = m(−ω^{2}u + ü) ⇒ mü + (k − mω^{2})u = 0  (2)

3.- Para el equilibrio relativo, al ser u̇(0) = 0, basta con que sea ü = 0. Examinando la ecuación (2), al ser u(0) ≠ 0, el coeficiente de u debe anularse:

k − mω^{2} = 0.

El equilibrio es indiferente, puesto que se produce para cualquier valor de u.

También se podría responder a este apartado integrando la ecuación (2), aunque no es necesario. Dependiendo del signo del coeficiente de u, denominando ω^{∗} = \sqrt{|k/m − ω^{2}|}, la ecuación horaria vale u(t) = u_{0} cos(ω^{∗}t) (para k/m − ω^{2} > 0) ó u(t) = u_{0} cosh(ω^{∗}t) (para k/m − ω^{2} ≤ 0). Queda claro que para u = u_{0} (constante) debe ser ω^{∗} = 0.

4.- La reacción de la varilla se obtiene expresando mediante la aceleración calculada en (1) la dinámica transversal:

R = m(−ω^{2}l + 2ωu̇).