Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

1\underline{er} EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)

Apellidos  Nombre  N  Grupo

Ejercicio 2 Tiempo: 45 min.

Dos partículas de masa m cada una están unidas mediante un hilo inextensible, de forma que una de ellas desliza sobre una mesa horizontal lisa y la otra cuelga del hilo que pasa a través de un pequeño orificio practicado en la mesa.

[figure: m; m; r; θ]

Inicialmente la partícula sobre la mesa se halla a distancia b del orificio, moviéndose con velocidad v_{0} normal al hilo, mientras que la otra está en reposo en la vertical del hilo. Se pide:

1. ecuación diferencial del movimiento en función de la distancia r de la partícula superior al orificio;

2. tensión del hilo en función de r;

3. valor que habría de tomar v_{0} para que la masa inferior permanezca inmóvil.

1.- Llamaremos θ al ángulo girado por el hilo sobre la mesa, y T a la tensión del mismo (T > 0: tracción). Escribimos en primer lugar las ecuaciones dinámicas para cada partícula:

−T = m(r̈ − rθ̇^{2});  T − mg = mr̈  (1)

Eliminando T entre éstas:

2mr̈ + mg = mrθ̇^{2}  (2)

Por otra parte, se conserva el momento cinético de la partícula superior respecto del orificio, al ser la tensión una fuerza central. Igualando al valor inicial del mismo,

r^{2}θ̇ = v_{0}b.

Eliminando mediante esta expresión θ̇ en la ecuación (2), resulta finalmente

2mr̈ + mg = m\frac{v_{0}^{2}b^{2}}{r^{3}} .  (3)

2.- Eliminando r̈ a partir de (3) en (1) se obtiene

T = \frac{1}{2}m (g + \frac{v_{0}^{2}b^{2}}{r^{3}} ) .

3.- Inicialmente es ṙ = 0; para que la partícula inferior permanezca inmóvil debe ser r̈ = 0, con lo cual la superior describirá una trayectoria circular alrededor del orificio con r = b. Entrando con estos valores en (3) se obtiene

v_{0} = \sqrt{gb}.