\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{1$^{\underline{\rm er}}$ EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\em Ejercicio 2\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}

\noindent
\parbox{75mm}{
Dos part�culas de masa $m$ cada una est�n unidas mediante un hilo 
inextensible, de forma que una de ellas desliza sobre una mesa 
horizontal lisa y la otra cuelga del hilo que pasa a trav�s de
un peque�o orificio practicado en la mesa.
}
\hfill
\parbox{90mm}{
\hfil\input{639exam.pic}
}

Inicialmente la part�cula sobre la mesa se halla a distancia $b$
del orificio, movi�ndose con velocidad $v_0$ normal al hilo,
mientras que la otra est� en reposo en la vertical del hilo.
Se pide:
\begin{enumerate}
  \item ecuaci�n diferencial del movimiento en funci�n de la distancia
        $r$ de la part�cula superior al orificio;
  \item tensi�n del hilo en funci�n de $r$;
  \item valor que habr�a de tomar $v_0$ para que la masa inferior
        permanezca inm�vil.
\end{enumerate}

\noindent\mbox{}\hrulefill

\paragraph{1.-}
Llamaremos $\theta$ al �ngulo girado por el hilo sobre la mesa, y $T$
a la tensi�n del mismo ($T>0$: tracci�n).
Escribimos en primer lugar las ecuaciones din�micas para cada part�cula:
\begin{equation}
  -T=m(\ddot r-r\dot\theta^2);
  \qquad
  T-mg=m\ddot r
  \label{eq:3.d2}
\end{equation}
Eliminando $T$ entre �stas:
\begin{equation}
  2m\ddot r+mg=mr\dot\theta^2
\label{eq:3.1}
\end{equation}
Por otra parte, se conserva el momento cin�tico de la part�cula superior 
respecto del orificio, al ser la tensi�n una fuerza central. 
Igualando al valor inicial del mismo,
\[r^2\dot\theta=v_0 b.\]
Eliminando mediante esta expresi�n $\dot\theta$ 
en la ecuaci�n (\ref{eq:3.1}), resulta finalmente
\begin{equation}
  \mathbox{2m\ddot r+mg=m\frac{v_0^2b^2}{r^3}.}
  \label{eq:3.d}
\end{equation}

\paragraph{2.-}
Eliminando $\ddot r$ a partir de (\ref{eq:3.d}) en (\ref{eq:3.d2})
se obtiene
\[
  \mathbox{T=\frac{1}{2}m\left(g+\frac{v_0^2 b^2}{r^3}\right).}
\]

\paragraph{3.-}
Inicialmente es $\dot r=0$; para que la part�cula inferior permanezca 
inm�vil debe ser $\ddot r=0$, con lo cual la superior describir�
una trayectoria circular alrededor del orificio con $r=b$. Entrando 
con estos valores en (\ref{eq:3.d}) se obtiene
\[
  \mathbox{v_0=\sqrt{gb}.}
\]

\end{document}
