\documentstyle[12pt,bezier]{articulo}
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\setlength{\textwidth}{168mm}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\mbox{}\vspace*{-45mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{1$^{\underline{\rm er}}$ EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\noindent{\it Apellidos \hskip 2.2truein Nombre \hfill 
N\� \hfill Grupo}\\
\framebox[\textwidth]{\rule{0mm}{10mm}}

\vspace{2mm}
\noindent{\it Ejercicio 1\�} \hfill Tiempo: 45\,min.
\vspace{4mm}
% (texto del problema aqu�)

{\footnotesize
Responder a las siguientes cuestiones te�ricas {\em dentro del 
espacio provisto en la hoja} para cada una. Las respuestas habr�n de ser
breves y directas, escritas con letra clara y {\em a tinta}.
Donde se pida {\em deducir} o {\em demostrar} un resultado, 
deber�n justificarse debidamente todos los pasos, 
mientras que si se pide {\em discutir} debe realizarse una discusi�n
razonada.
Se repartir� una hoja adicional para borrador, que no se recoger�, 
no permiti�ndose tener sobre la mesa {\em ninguna otra hoja}, 
ni calculadoras ni libros de ning�n tipo.
}
\\
\noindent\mbox{}\hrulefill

De un sistema r�gido con movimiento plano se conoce la posici�n de
su centro instant�neo de rotaci�n (C.I.R.) en funci�n del tiempo, 
$\bm{r}_C(t)$, y la velocidad de rotaci�n $\Omega$.
{\em Deducir} razonadamente para un instante dado la expresi�n de la
aceleraci�n del punto del s�lido que se sit�a en el C.I.R.
(2.5 ptos.)

\vbox to 65mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{4mm}

La velocidad de un punto cualquiera definido por el vector posici�n $\bm{r}$
es una rotaci�n alrededor de $C$; denominando $\bm{k}$ al versor normal
al plano,
\[
  \bm{v}=\Omega\bm{k}\wedge(\bm{r}-\bm{r}_C).
\]
Derivando se obtiene directamente el campo de aceleraciones,
\[
  \bm{a}=\dot\Omega\bm{k}\wedge(\bm{r}-\bm{r}_C)+
         \Omega\bm{k}\wedge(\bm{v}-\bm{v}_C),
\]
donde $\bm{v}_C=\dot\bm{r}_C$ es la ``velocidad de sucesi�n'' de $C$
(dicho as� para enfatizar que $C$ es un punto geom�trico que no coincide 
necesariamente con el mismo punto del s�lido a lo largo del movimiento).

El punto del s�lido que se sit�a en $C$ es $\bm{r}=\bm{r}_C$,
siendo $\bm{v}={\bf 0}$; particularizando en la expresi�n anterior,
\[
  \mathbox{\bm{a}=-\Omega\bm{k}\wedge\bm{v}_C.}
\]
\mbox{}
\vfil}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

{\em Demostrar}, desde un punto de vista puramente anal�tico,
que si la Lagrangiana no depende expl�citamente del tiempo
existe siempre una constante del movimiento cuya expres�n
se deducir�.
�Qu� relaci�n guarda esta constante con la energ�a?
(2.5 ptos.)

\vbox to 80mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{% \vspace{4mm}

Sean $q_j$ las coordenadas generalizadas, $\dot q_j$ las velocidades y
$t$ el tiempo.
Seg�n el enunciado $\partial L/\partial t=0$; la dependencia funcional 
de la funci�n Lagrangiana es pues $L(q_j,\dot q_j)$, por lo que
aplicando la regla de la cadena su derivada temporal es
\[
  \frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q_j}\dot q_j
                +\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\ddot q_j
               =\frac{\partial L}{\partial q_j}\dot q_j
                +\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}
                 \dot q_j\right)
                -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right)
                 \dot q_j
\]
Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange, 
$d/dt(\partial L / \partial\dot q_j)=\partial L / \partial q_j$. Por tanto
los sumandos primero y tercero en la ecuaci�n anterior se anulan, resultando
\[
  \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j - L \right)
  =0;
  \quad\Rightarrow\quad
  \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j - L = h
  \quad\mbox{(cte.)}
\]
La constante obtenida se denomina {\em integral de Jacobi}.
Se comprueba f�cilmente que si no existen enlaces m�viles, en cuyo
caso la energ�a cin�tica es una expresi�n cuadr�tica homog�nea en las
velocidades generalizadas, $h$ coincide con la energ�a
mec�nica $T+V$.
\mbox{}
\vfil}
}

\newpage

\mbox{}\vspace*{-20mm}

{\em Deducir} razonadamente la ecuaci�n horaria del movimiento
para un oscilador arm�nico de masa $m$ y constante de resorte $k$,
sin amortiguamiento, en vibraciones libres, en funci�n de las
condiciones iniciales $(x(0)=x_0,\ \dot x(0)=v_0)$.
(2.5 ptos.)

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{4mm}

La ecuaci�n del movimiento es $m\ddot x+kx=0$.
Admitiendo una soluci�n general de tipo exponencial, $x(t)=a e^{rt}$,
con coeficientes $a$ y $r$ reales o complejos, al introducir en la ecuaci�n:
\[
  a e^{rt}(mr^2+k)=0
  \quad\Rightarrow\quad
  r=i \sqrt{\frac{k}{m}}=i \omega_0
\]
donde se ha supuesto $k>0$ e $i=\sqrt{-1}$. 
Desarrollando la exponencial compleja resulta
una expresi�n arm�nica cuyas constantes $A$ y $B$ deben ser reales
(puesto que lo es el movimiento):
\[
  x(t)=a\cos(\omega_0 t)+ai\sen(\omega_0 t)
      =A\cos(\omega_0 t)+B\sen(\omega_0 t).
\]
Aplicando las condiciones iniciales se obtienen los valores de las 
constantes:
\[
  x(0)=A \quad\Rightarrow\quad A=x_0;
  \qquad
  \dot x(0)=B\omega_0 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{v_0}{\omega_0}.
\]
Por lo que la expresi�n final en funci�n de las condiciones iniciales es
\[
  \mathbox{x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)+\frac{v_0}{\omega_0}\sen(\omega_0 t).}
\]
\mbox{}
\vfil}
}

\noindent\mbox{}\hrulefill

{\em Discutir}, para un sistema material general de $N$ part�culas, 
si las ecuaciones de la cantidad de movimiento $(\bm{F}=M\bm{a}_G)$
y del momento cin�tico $(\bm{M}_G=d/dt(\bm{H}_G))$ son necesarias
y suficientes para definir el movimiento.
(2.5 ptos.)

\vbox to 100mm
{\noindent\hspace{40mm}\hrulefill\lower.5ex\hbox{$\bullet$}\hrulefill\hspace{40mm}
{\vspace{4mm}

Las ecuaciones vectoriales citadas se cumplen siempre (son {\em necesarias}) al ser la
expresi�n de los principios generales de la cantidad de movimiento y
del momento cin�tico.

Sin embargo, proporcionan s�lo 6 ecuaciones escalares, por lo que no
podr�n ser suficientes si el n�mero de grados de libertad es $> 6$.

Existen adem�s otros casos con menos de 6 g.d.l. en que las ecuaciones
citadas pueden no ser suficientes: aquellos sistemas no r�gidos
que permitan movimientos relativos entre las part�culas,
como el descrito en la figura adjunta.

\noindent
\parbox{0.4\textwidth}{
              \hfil\input{638exam.pic}\hfil   % (incluye fichero con figura)
             }
\hfil
\parbox{0.59\textwidth}{
                En este caso $\bm{F}=\bm{f}-\bm{f}={\bf 0}$, 
                $\bm{M}_G={\bf 0}$,
                sin embargo no se puede determinar el movimiento relativo
                de las dos part�culas conociendo �nicamente los valores
                de las resultantes de fuerzas y momentos. 
                Es preciso conocer la magnitud de las fuerzas $\bm{f}$ 
                sobre cada una de ellas.
              }

Las ecuaciones citadas son {\em suficientes} s�lo en el caso de
sistemas r�gidos (6 g.d.l.), en los que
no hay desplazamientos relativos entre las part�culas.

En el caso m�s general ser�a necesario aplicar las ecuaciones
\[
\bm{f}_i=m_i\ddot\bm{r}_i
\]
para cada una de las part�culas del sistema, siendo $\bm{f}_i$ la resultante
de las fuerzas sobre $m_i$.
\mbox{}
\vfil}
}
% \end{document}

\newpage
\mbox{}\vspace*{-35mm}

{\centering
{\small\sc Escuela T�cnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)}\\*[4mm]
{\Large\bf Mec�nica}\\*[4mm]
{1$^{\underline{\rm er}}$ EXAMEN PARCIAL (9 de febrero de 1996)}\\*[4mm]
}
\vspace{4mm}

\centerline{\large\bf BORRADOR}
\end{document}
