Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO DE FEBRERO (19 de Enero de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 5\underline{o} Tiempo: 45 min.

Un semiaro de masa m y radio r se halla en un plano horizontal, con su punto medio Q fijo. Sobre él se mueve con ligadura bilateral lisa una masa puntual m (igual a la del semiaro). Inicialmente el semiaro está en reposo y la masa puntual en un extremo del mismo, con velocidad v_{0}. Se pide

1. Ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema.

2. Integrales primeras.

[figure: Q; m; v_{0}]

El sistema tiene 2 g.d.l., para los que tomaremos como coordenadas el ángulo θ que define la posición de la masa puntual respecto del semiaro, y el ángulo φ girado por el semiaro alrededor de Q (positivos ambos en sentido horario).

1.- La energía total se conserva, y al estar el sistema horizontal, coincide con la cinética:

E = T = \frac{1}{2}I_{Q}φ̇^{2} + \frac{1}{2}mv_{m}^{2}  (1)

Resolviendo la geometría de masas se obtiene la posición del C.D.M. (G) y los momentos de inercia:

CG = \frac{2r}{π};

I_{G} = I_{C} − m(CG)^{2} = mr^{2} (1 − \frac{4}{π^{2}} );

I_{Q} = I_{G} + m(QG)^{2} = 2mr^{2} (1 − \frac{2}{π} ) . [figure: Q; θ; φ; α; α; M; (QM)φ̇; rθ̇; C; G]

La velocidad de la masa puntual se obtiene como composición del arrastre debido al giro φ del semiaro y la rotación relativa θ. Teniendo en cuenta que ambos vectores forman un ángulo α = π/4 + θ/2 y que QM = 2r cos α (ver figura), la expresión es:

v_{m}^{2} = r^{2}θ̇^{2} + 4r^{2}φ̇^{2} cos^{2} (\frac{π}{4} + \frac{θ}{2}) + 4r^{2}θ̇φ̇ cos^{2} (\frac{π}{4} + \frac{θ}{2})

Operando con estas expresiones en (1) e igualando la constante al valor inicial de la energía, resulta

mr^{2} (1 − \frac{2}{π} ) φ̇^{2} + \frac{1}{2}mr^{2} [θ̇^{2} + 2φ̇^{2}(1 − sen θ) + 2θ̇φ̇(1 − sen θ)] = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}  (2)

Por otra parte, se verifica la constancia del momento cinético respecto a Q. Su expresión es

2mr^{2} (1 − \frac{2}{π} ) φ̇ + mr^{2} [2φ̇(1 − sen θ) + θ̇(1 − sen θ)] = mv_{0}r  (3)

Las dos expresiones anteriores constituyen las ecuaciones diferenciales que definen el movimiento.

2.- Las integrales primeras son precisamente las ecuaciones (2) y (3) obtenidas en el apartado anterior, por lo que constituyen también la respuesta a este apartado.

Observación.- Podría haberse resuelto igualmente el ejercicio mediante la dinamíca analítica de Lagrange. En este caso, se comprobaría que la Lagrangiana es L = T, conservándose la energía T (todas las fuerzas son conservativas, enlaces lisos y esclerónomos) y ∂L/∂φ̇ (al ser φ cíclica). Estas dos integrales primeras resultan en las mismas ecuaciones (2) y (3). Puede obtenerse asimismo una ecuación diferencial (de segundo grado) correspondiente a θ:

mr^{2}θ̈ + mr^{2}φ̈(1 − sen θ) + mr^{2}φ̇^{2} cos θ = 0.