Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO DE FEBRERO (19 de Enero de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 3\underline{o} Tiempo: 45 min.

Una varilla homogénea de longitud l se mueve en un plano horizontal con velocidad v_{0} de traslación (sin giro). Impacta por un extremo contra una pared lisa, con la que la varilla forma un ángulo θ, con coeficiente de restitución e. Se pide:

1. Movimiento de la varilla después del choque.

2. Energía cinética de la varilla después del choque.

3. En el caso particular en que e = 1 y la velocidad de la varilla sea perpendicular a la pared, determinar el ángulo θ para que la varilla adquiera la máxima velocidad angular posible después del choque.

[figure: v_{0}; θ; I; i; j]

Sean:

• v_{0} = v_{0x}i + v_{0y}j la velocidad del centro de masas de la varilla antes del choque (de acuerdo con el dibujo, sería v_{0x} < 0)

• I = Ii la impulsión que actúa en el extremo de la varilla que impacta.

• v = v_{x}i + v_{y}j la velocidad del centro de masas de la varilla después del choque.

• ω = ωk la velocidad angular de la varilla después del choque (sentido positivo contrario a las agujas del reloj).

1.- Planteamos las siguientes ecuaciones:

a. Balance de la cantidad de movimiento según x:

mv_{0x} + I = mv_{x}  (1)

b. Balance de la cantidad de movimiento según y:

mv_{0y} = mv_{y} ⇒ v_{0y} = v_{y}  (2)

este resultado indica que la velocidad tangencial a la pared se conserva, ya que en esta dirección no hay percusión.

c. Balance del momento cinético en G (centro de la varilla):

I \frac{l}{2} cos θ = \frac{1}{12}ml^{2}ω  (3)

d. Coeficiente de restitución:

e = −\frac{v_{x} + ω \frac{l}{2} cos θ}{v_{0x}}  (4)

Despejando I en (1) y sustituyendo en (3) se obtiene:

v_{0x} + \frac{1}{6} \frac{lω}{cos θ} = v_{x}  (5)

Resolviendo el sistema (4;5) se obtienen las expresiones de v_{x} y ω:

v_{x} = \frac{v_{0x}(3 cos^{2} θ − e)}{1 + 3 cos^{2} θ}  (6)
ω = −\frac{6v_{0x}(e + 1) cos θ}{l(1 + 3 cos^{2} θ)}  (7)

Estas dos expresiones anteriores junto con (2) definen el movimiento después del choque.

2.- La energía cinética después del choque es:

T = \frac{1}{2}m(v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) + \frac{1}{2} \frac{1}{12}ml^{2}ω^{2}

Sustituyendo las expresiones (2;6;7) se obtiene:

T = \frac{1}{2}m (\frac{v_{0x}^{2}(3 cos^{2} θ − e)^{2}}{(1 + 3 cos^{2} θ)^{2}} + v_{0y}^{2}) + \frac{1}{2} \frac{1}{12}ml^{2} \frac{36v_{0x}^{2}(e + 1)^{2} cos^{2} θ}{l^{2}(1 + 3 cos^{2} θ)^{2}}

Operando y simplificando, resulta finalmente:

T = \frac{1}{2}m (\frac{v_{0x}^{2}(3 cos^{2} θ + e^{2})}{1 + 3 cos^{2} θ} + v_{0y}^{2})

3.- En este caso, como e = 1 el choque es elástico y la energía total se conserva. Por esta razón, la velocidad angular será máxima cuando v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} sea mínima. Como v_{y} no varía durante la impulsión, el valor mínimo de v^{2} corresponde a v_{x} = 0. Imponiendo esta condición en (6) se obtiene:

cos^{2} θ = \frac{1}{3} ⇒ θ = 54.74^{∘}

y sustituyendo en (7):

ω_{max} = −\frac{2\sqrt{3}v_{0x}}{l}

(NOTA: Este resultado se podría haber obtenido también haciendo dω/dθ = 0 en la ecuación (7), para calcular directamente el máximo de ω; el resultado es el mismo.)