Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO DE FEBRERO (19 de Enero de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 2\underline{o} Tiempo: 45 min.

Responder a las siguientes cuestiones teóricas dentro del espacio provisto en la hoja para cada una. Las respuestas habrán de ser breves y directas, escritas con letra clara (no a lápiz). Cuando se pida obtener un resultado, deberán justificarse debidamente los pasos, mientras que si se pide expresar no es necesaria la demostración. Se puede emplear como borrador la hoja adicional que se les repartirá, no permitiéndose tener sobre la mesa ninguna otra hoja. La hoja de borrador no deberá entregarse.

Expresar las condiciones para la existencia y estabilidad del equilibrio en un sistema mecánico general en el que las fuerzas provienen de un potencial V (q_{j}), siendo q_{j} las coordenadas generalizadas del sistema. (2.5 ptos.)

•

Existencia de Equilibrio Existirá equilibrio en un punto (q_{j})_{0} si en ese punto V toma un valor extremal,

(Q^{j})_{0} = − (\frac{∂V}{∂q_{j}} )_{0} = 0.

Estabilidad

Para que el equilibrio sea estable, el potencial V debe tener un mínimo local en ese punto. Para ello, la matriz Hessiana de V debe ser definida positiva:

[(\frac{∂^{2}V}{∂q_{i}∂q_{j}} )_{0}] > 0

(En la práctica se puede comprobar esta condición verificando que todos los menores principales > 0).

Para un sólido rígido de revolución, con un punto de su eje fijo y sometido únicamente a su propio peso, expresar las magnitudes cinéticas que se conservan en el movimiento. (2.5 ptos.)

•

Emplearemos la notación usual del triedro del cuerpo {i, j, k}, triedro fijo {I, J, K}, ángulos de Euler (ψ, θ, φ) y momentos principales de inercia (A, A, C). El momento respecto del punto fijo O perteneciente al eje es M_{O} = Mgd k ∧ K. Se conservan las tres magnitudes siguientes:

1. Momento cinético proyectado sobre el eje vertical,

M_{O} · K = 0 ⇒ H_{O} · K = Aψ̇ sen^{2} θ + Cr cos θ (= cte.)

2. Momento cinético proyectado sobre el eje del cuerpo,

M_{O} · k = 0 ⇒ H_{O} · k = Cr = C(φ̇ + ψ̇ cos θ) (= cte.)

(por ser k móvil, esto sólo se verifica si el sólido es de revolución)

3. Energía total (al ser la fuerza de gravedad conservativa),

E = T + V = \frac{1}{2}(Aθ̇^{2} + Aψ̇^{2} sen^{2} θ + Cr^{2}) + Mgd cos θ (= cte.)

Definir, para un sistema lineal con n grados de libertad, el concepto de coordenadas normales y explicar su utilidad. (2.5 ptos.)

•

La solución general a las vibraciones libres sin amortiguamiento viene dada por una combinación lineal de modos normales, afectados de funciones armónicas:

{q(t)} = ∑_{k=1}^{n} B_{k}{a_{k}} cos(ω_{k}t − δ_{k}).

Se definen como coordenadas normales los coeficientes

u_{k}(t) = B_{k} cos(ω_{k}t − δ_{k}) (k no sumado)

La expresión anterior define un cambio de coordenadas,

q_{i}(t) = a_{ki}u_{k}(t)

donde a_{ki} es la componente i del modo {a_{k}} y u_{k} son las llamadas coordenadas normales. En función de éstas las ecuaciones del movimiento resultan desacopladas,

ü_{k} + ω_{k}^{2}u_{k} = 0, k = 1, … n (k no sumado)

Obtener las ecuaciones de Hamilton para una partícula libre de masa m, sometida a un potencial V (x, y, z), siendo (x, y, z) las coordenadas cartesianas de la misma. (2.5 ptos.)

•

La Hamiltoniana es H =^{def} p^{i}q̇_{i} − L, expresada en función de las nuevas variables (p^{i}, q_{i}, t); en nuestro caso los momentos generalizados son

p^{x} = mẋ; p^{y} = mẏ; p^{z} = mż

y la expresión de H resulta, una vez eliminados (ẋ, ẏ, ż),

H(p^{x}, p^{y}, p^{z}, x, y, z) = \frac{1}{2m} [(p^{x})^{2} + (p^{y})^{2} + (p^{z})^{2}] + V (x, y, z).

Las ecuaciones de Hamilton son por tanto

\frac{∂H}{∂p^{i}} = q̇_{i} ⇒ \frac{p^{x}}{m} = ẋ; \frac{p^{y}}{m} = ẏ; \frac{p^{z}}{m} = ż

(ecuaciones que corresponden al cambio de variables que define p^{i})

\frac{∂H}{∂q_{i}} = −ṗ^{i} ⇒ \frac{∂V}{∂x} = −ṗ^{x}; \frac{∂V}{∂y} = −ṗ^{y}; \frac{∂V}{∂z} = −ṗ^{z}

(ecuaciones que se corresponden con las de Newton de dinámica de la partícula).