ENUNCIADO DEL EJEMPLO 34

Sistema formado por un aro de masa M y radio R que se encuentra en un plano vertical liso y que tiene un punto de su periferia fijo en el centro de coordenadas y que puede girar respecto a él. El aro tiene ensartada una masa de valor m. Obtener las ecuaciones del movimiento.

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restart:

Cargamos los paquetes de Maple que vamos a emplear, entre ellos el Mecapac3d, para lo cuál es necesario indicar previamente donde se encuentra la librería dentro del disco duro.

>	with(linalg):with(plots):with(plottools):

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>	libname:="C:\",libname:

>	with(mecapac3d):

El sistema tiene dos grados de libertad que asociamos con las coordenadas generalizadas theta y phi, que representan el giro de aro en el plano respecto a la normal al mismo y el ángulo que forma con la vertical descendente el radio que une el centro del aro con la partícula, respectivamente. Definimos dichas coordenadas generalizadas.

>	cg:=[theta,phi] ;

Definimos las coordenadas del centro de gravedad del aro y su matriz de rotación para definir después el aro. La matriz de rotación se consigue multiplicando por la izquierda las sucesivas matrices al representar giros absolutos.

>	xaro:=[0,sin(theta),-cos(theta)]:

>	rotaro0:=rota(Pi/2,2):

>	rotaro1:=rota(theta,1):

>	rottot := evalm(rotaro1&*rotaro0) :

Definimos el aro

>	a1:=[aro,xaro,rottot,maro,radaro]:

Definimos a continuación las coordenadas de la partícula.

>

x:=0:

>	y:=sin(theta)+sin(phi):

>	z:=-cos(theta)-cos(phi):

Definimos la partícula.

>	p1:=[punto,x,y,z,mpto]:

Definimos elementos gráficos para representar ángulos y los ejes.

>	angtheta:=[angulo,[0,0,-1],[0,0,0],[0,sin(theta),-cos(theta)],0.5]:

>	angphi:=[angulo,[0,sin(theta),-cos(theta)-1],[0,sin(theta),-cos(theta)],[0,sin(theta)+sin(phi),-cos(theta)-cos(phi)],0.5]:

>	TO := [texto,[0,0,-1],"O"]:

>	TY := [texto,[0,2,1],"Y"]:

>	TZ := [texto,[0,0,2.1],"Z"]:

>	ejey:=[segmento,[0,0,0],[0,1,0],green]:

>	ejez:=[segmento,[0,0,0],[0,0,1],red]:

Definimos el sistema, con los elementos gráficos incluidos.

>	sistema:=[TO,TY,TZ,ejey,ejez,a1,p1,angtheta,angphi];

Damos valores a los parámetros para poder representar el sistema en una situación determinada y poder realizar después la integración numérica.

>	maro:=1:g:=9.8:radaro:=1:mpto:=1:

>	fG([evalf(Pi/2),evalf(Pi)]);

Calculamos la energía cinética y potencial del sistema, así como la Lagrangiana.

>	T:=fT(sistema):

>	V:=fV(sistema):

>	L:=simplify(T-V);

Ecuaciones del movimiento

>	ecua:=map(ec_l,cg);

Realizamos la integración numérica indicando los valores iniciales de las coordenadas generalizadas y sus velocidades.

>	res:=fint([0,0,1,1]):

Gráfica de las coordenadas generalizadas en función del tiempo

>	odeplot(res,[t,phi(t)],0..1.65);

>	odeplot(res,[t,theta(t)],0..1.65);

Animación del movimiento

>	dibu3(2,15);

>