ENUNCIADO DEL EJEMPLO 19

Un semiaro homogéneo de masa n y  radio r gira con velocidad no constante alrededor del eje Z vertical, estando obligado a permanecer en todo momento en un plano vertical. Una particula pesada de masa m puede moverse sin rozamiento ensartada en el semiaro y unida a la vez a un muelle de constante k, cuyo otro extremo se encuentra en el extremo inferior del diámetro vertical. Obtener las ecuaciones del movimiento.

>

restart :

Cargamos los paquetes de Maple que vamos a emplear, entre ellos el Mecapac3d, para lo cuál es necesario indicar previamente donde se encuentra la librería dentro del disco duro.

>	with(linalg) : with(plots) : with(plottools):

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>	libname:="C:\",libname:

>	with(mecapac3d) :

El sistema tiene dos grados de libertad, por lo que lo definiremos con dos coordenadas generalizadas, alpha y theta que representan el ángulo girado por el semiaro alrededor de la vertical y el ángulo que forma el radio que une la partícula con el centro, con la horizontal, respectivamente. Definimos dichas coordenadas generalizadas.

>	cg := [alpha,theta] :

Definimos las coordenadas del centro de gravedad del semiaro y la matriz de rotación del mismo. Como los giros son absolutos, el producto de las matrices lo realizamos por la izquierda.

>	xgvar := [r*cos(alpha),r*sin(alpha),r*(1-2/Pi)] :

>	rot1 := rota(-Pi/2,1):

>	rot2 := rota(alpha,3):

>	rtot := evalm(rot2&*rot1):

Definimos el semiaro.

>	d1 := [semiaro,xgvar,rtot,n,r]:

Definimos la partícula.

>	m1 := [punto, r*(1+cos(theta))*cos(alpha), r*(1+cos(theta))*sin(alpha), r*(1-sin(theta)),m] :

Definimos el muelle.

>	c1:= [muelle,[0,0,r],[r*(1+cos(theta))*cos(alpha), r*(1+cos(theta))*sin(alpha), r*(1-sin(theta))],k,lo]:

Definimos elementos gráficos para representar los ejes.

>	ejeY:=[vector,[0,0,0],[0,1,0],green]:

>	ejeX:=[vector,[0,0,0],[1,0,0],red]:

>	ejeZ:=[vector,[0,0,0],[0,0,1],blue]:

>	TO := [texto,[0,0,-1],"O"]:

>	TY := [texto,[0,1,1],"Y"]:

>	TZ := [texto,[0,0,1.5],"Z"]:

>	TX := [texto,[1.5,0,0],"X"]:

Definimos el sistema.

>	sistema := [d1,m1,c1,ejeX,ejeY,ejeZ,TO,TX,TY,TZ];

Calculamos la energía cinética y potencial del sistema, así como la Lagrangiana.

>	T:=fT(sistema):

>

>	V:=fV(sistema):

Lagrangiana

>	L := simplify(T-V) ;

Ecuaciones del movimiento

>	ecua := ec_lag() ;

Damos valores a los parámetros para poder representar el sistema en una situación determinada y poder realizar después la integración numérica.

>	n:= 10 : g:=9.8 : m:= 50 : r:= 0.5 :k:=500:lo:=1:

>	fG([evalf(Pi/3),0]) ;

Realizamos la integración numérica indicando los valores iniciales de las coordenadas generalizadas y sus velocidades.

>	res := fint([0.0,1.0,0.0,0]) ;

Gráfica de las coordenadas generalizadas en función del tiempo

>	odeplot(res,[t,theta(t)],0..1.2);

>	odeplot(res,[t,alpha(t)],0..1.2) ;

Animación

>	dibu3(4,60) ;

>